8. Решите уравнение: \( \frac{\sin x}{\sin^2 \frac{x}{2}} = 4\cos^2 \frac{x}{2} \)

Решение:

Данное уравнение:

\[ \frac{\sin x}{\sin^2 \frac{x}{2}} = 4\cos^2 \frac{x}{2} \]

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \).

Подставим в уравнение:

\[ \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}} = 4\cos^2 \frac{x}{2} \]

Сократим \( \sin \frac{x}{2} \) (при условии, что \( \sin \frac{x}{2} \neq 0 \), то есть \( \frac{x}{2} \neq \pi n \), \( x \neq 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)):

\[ \frac{2 \cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = 4\cos^2 \frac{x}{2} \]

\[ 2 \cot \frac{x}{2} = 4\cos^2 \frac{x}{2} \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ 2 \cot \frac{x}{2} - 4\cos^2 \frac{x}{2} = 0 \]

\[ \cot \frac{x}{2} - 2\cos^2 \frac{x}{2} = 0 \]

Представим \( \cot \frac{x}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \):

\[ \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} - 2\cos^2 \frac{x}{2} = 0 \]

Вынесем \( \cos \frac{x}{2} \) за скобки:

\[ \cos \frac{x}{2} \left( \frac{1}{\sin \frac{x}{2}} - 2\cos \frac{x}{2} \right) = 0 \]

Это даёт два случая:

1. \( \cos \frac{x}{2} = 0 \)

\[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. \( \frac{1}{\sin \frac{x}{2}} - 2\cos \frac{x}{2} = 0 \)

\[ \frac{1}{\sin \frac{x}{2}} = 2\cos \frac{x}{2} \]

\[ 1 = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \]

Используя формулу синуса двойного угла \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \), получаем:

\[ \sin x = 1 \]

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Проверим условия: \( x \neq 2\pi n \).

Для первого случая \( x = \pi + 2\pi n \) — эти значения не равны \( 2\pi n \).

Для второго случая \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) — эти значения не равны \( 2\pi n \).

Ответ: \( x = \pi + 2\pi n \) и \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).