8. Решите неравенство x^2 - 1 >= 0

Решение:

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 1 \ge 0 \), найдём корни уравнения \( x^2 - 1 = 0 \).

1. Разложим левую часть на множители: \( (x - 1)(x + 1) = 0 \).
2. Корни уравнения: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -1 \).
3. Эти корни делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 1) \) и \( (1; +\infty) \).
4. Проверим знак выражения \( x^2 - 1 \) в каждом интервале:
   • При \( x = -2 \) (интервал \( (-\infty; -1) \)): \( (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 > 0 \).
   • При \( x = 0 \) (интервал \( (-1; 1) \)): \( 0^2 - 1 = -1 < 0 \).
   • При \( x = 2 \) (интервал \( (1; +\infty) \)): \( 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 > 0 \).
5. Так как неравенство \( x^2 - 1 \ge 0 \) (больше или равно нулю), то подходят интервалы, где выражение положительно, а также сами корни.

Таким образом, решение неравенства: \( x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \).

Ответ: 3) \( (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \)