8. Решить неравенство f'(x) ≤ 0

Решение:

Для решения неравенства \( f'(x) \leq 0 \) нам нужно найти производную каждой функции, а затем решить само неравенство.

1. Для функции \( f(x) = 4x - 3x^2 \):
   1. Найдём производную: \( f'(x) = (4x - 3x^2)' = 4 - 6x \).
   2. Решим неравенство \( f'(x) \leq 0 \): \( 4 - 6x \leq 0 \).
   3. \( -6x \leq -4 \).
   4. \( x \geq \frac{-4}{-6} \).
   5. \( x \geq \frac{2}{3} \).
2. Для функции \( f(x) = x^2 - 5x \):
   1. Найдём производную: \( f'(x) = (x^2 - 5x)' = 2x - 5 \).
   2. Решим неравенство \( f'(x) \leq 0 \): \( 2x - 5 \leq 0 \).
   3. \( 2x \leq 5 \).
   4. \( x \leq \frac{5}{2} \).
3. Для функции \( f(x) = x^3 + 1.5x^2 \):
   1. Найдём производную: \( f'(x) = (x^3 + 1.5x^2)' = 3x^2 + 3x \).
   2. Решим неравенство \( f'(x) \leq 0 \): \( 3x^2 + 3x \leq 0 \).
   3. Вынесем общий множитель: \( 3x(x + 1) \leq 0 \).
   4. Это квадратичное неравенство. Корни уравнения \( 3x(x+1) = 0 \) равны \( x=0 \) и \( x=-1 \). Парабола \( y = 3x^2 + 3x \) ветвями вверх. Неравенство выполняется при \( -1 \leq x \leq 0 \).
4. Для функции \( f(x) = 4x - \frac{x^3}{3} \):
   1. Найдём производную: \( f'(x) = (4x - \frac{x^3}{3})' = 4 - \frac{3x^2}{3} = 4 - x^2 \).
   2. Решим неравенство \( f'(x) \leq 0 \): \( 4 - x^2 \leq 0 \).
   3. \( 4 \leq x^2 \).
   4. Это означает, что \( x \geq 2 \) или \( x \leq -2 \).

Ответ:
1) \( x \geq \frac{2}{3} \)
2) \( x \leq \frac{5}{2} \)
3) \( -1 \leq x \leq 0 \)
4) \( x \leq -2 \) или \( x \geq 2 \)