8. Прямая a пересекает плоскость β в точке C и образует с плоскостью угол 45°. На прямой a взята точка A, к основанию перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки A, расстояние AC = 7√2. Найдите CB.

Обозначим через B основание перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость β. Тогда треугольник ACB прямоугольный, так как AB перпендикулярно плоскости β, а CB лежит в этой плоскости.

Угол между прямой AC и плоскостью β равен углу ACB, поэтому ∠ACB = 45°. Следовательно, треугольник ACB — равнобедренный прямоугольный, и его катеты равны:

\[CB=AC\cos45^\circ=7\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=7.\]

Ответ: 7.