8. Найти производную сложной функции a) 0,5x^4 + 4/x - 3 ln x б) 3sin x - 1/2 cos x + 2e^x - 3 в) √4x - 1 + 4 cos x/2 г) 3x * (x^2 + 4) д) (x-2)/(x+3)

Решение:

Найдём производные для каждой функции.

1. а) Производная от \( 0.5x^4 + \frac{4}{x} - 3 \ln x \)
   Применим правила дифференцирования:
   \( (0.5x^4)' = 0.5 \cdot 4x^3 = 2x^3 \)
   \( (\frac{4}{x})' = (4x^{-1})' = 4 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{4}{x^2} \)
   \( (-3 \ln x)' = -3 \cdot \frac{1}{x} = -\frac{3}{x} \)
   Складываем производные: \( y' = 2x^3 - \frac{4}{x^2} - \frac{3}{x} \)
2. б) Производная от \( 3\sin x - \frac{1}{2} \cos x + 2e^x - 3 \)
   \( (3\sin x)' = 3\cos x \)
   \( (-\frac{1}{2} \cos x)' = -\frac{1}{2}(-\sin x) = \frac{1}{2}\sin x \)
   \( (2e^x)' = 2e^x \)
   \( (-3)' = 0 \)
   Складываем производные: \( y' = 3\cos x + \frac{1}{2}\sin x + 2e^x \)
3. в) Производная от \( \sqrt{4x - 1} + 4\cos\frac{x}{2} \)
   Для \( \sqrt{4x - 1} \) используем правило дифференцирования сложной функции:
   \( (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \)
   Здесь \( u = 4x - 1 \), \( u' = 4 \).
   \( (\sqrt{4x - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{4x - 1}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x - 1}} \)
   Для \( 4\cos\frac{x}{2} \) используем правило сложной функции:
   \( (4\cos u)' = -4\sin u \cdot u' \)
   Здесь \( u = \frac{x}{2} \), \( u' = \frac{1}{2} \).
   \( (4\cos\frac{x}{2})' = -4\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = -2\sin\frac{x}{2} \)
   Складываем производные: \( y' = \frac{2}{\sqrt{4x - 1}} - 2\sin\frac{x}{2} \)
4. г) Производная от \( 3x(x^2 + 4) \)
   Сначала раскроем скобки: \( 3x(x^2 + 4) = 3x^3 + 12x \).
   Теперь найдём производную:
   \( (3x^3)' = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2 \)
   \( (12x)' = 12 \)
   Складываем производные: \( y' = 9x^2 + 12 \)
5. д) Производная от \( \frac{x-2}{x+3} \)
   Используем правило дифференцирования частного:
   \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
   Здесь \( u = x - 2 \) и \( v = x + 3 \).
   \( u' = 1 \)
   \( v' = 1 \)
   Подставляем в формулу:
   \[ y' = \(\frac{1 \cdot (x+3) - (x-2) \cdot 1}{(x+3)^2}\) = \(\frac{x+3 - x + 2}{(x+3)^2}\) = \(\frac{5}{(x+3)^2}\) \)

Ответ: а) \( 2x^3 - \frac{4}{x^2} - \frac{3}{x} \); б) \( 3\cos x + \frac{1}{2}\sin x + 2e^x \); в) \( \frac{2}{\sqrt{4x - 1}} - 2\sin\frac{x}{2} \); г) \( 9x^2 + 12 \); д) \( \frac{5}{(x+3)^2} \).