8) Найти неопределенный интеграл: a) ∫(x² - 1)³dx; b) ∫(eˣ - 3x)dx.

8. Неопределенные интегралы

a) \( \int (x^2 - 1)^3 dx \)

Раскроем скобки куба разности:

\( (x^2 - 1)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2 \cdot 1 + 3x^2 \cdot 1^2 - 1^3 = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1 \)

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

\( \int (x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1) dx = \int x^6 dx - 3 \int x^4 dx + 3 \int x^2 dx - \int 1 dx \)

Применяем формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( = \frac{x^{6+1}}{6+1} - 3 \frac{x^{4+1}}{4+1} + 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} - x + C \)

\( = \frac{x^7}{7} - 3 \frac{x^5}{5} + 3 \frac{x^3}{3} - x + C \)

\( = \frac{x^7}{7} - \frac{3x^5}{5} + x^3 - x + C \)

b) \( \int (e^x - 3x) dx \)

Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

\( \int (e^x - 3x) dx = \int e^x dx - \int 3x dx \)

Используем известные интегралы: \( \int e^x dx = e^x + C \) и \( \int ax^n dx = a \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( = e^x - 3 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C \)

\( = e^x - 3 \frac{x^2}{2} + C \)

Ответ: a) \( \frac{x^7}{7} - \frac{3x^5}{5} + x^3 - x + C \); b) \( e^x - \frac{3x^2}{2} + C \).