8. Найдите значение выражения \(\sqrt{c^2 + 14ct + 49t^2}\) при \(c = 8\frac{5}{12}, t = \frac{1}{12}\).

Решение:

1. Преобразуем выражение под корнем:

   Выражение под корнем \(c^2 + 14ct + 49t^2\) является полным квадратом суммы \((c + 7t)^2\).

   Проверим: \((c + 7t)^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 7t + (7t)^2 = c^2 + 14ct + 49t^2\).

2. Упростим корень:

   \(\sqrt{c^2 + 14ct + 49t^2} = \sqrt{(c + 7t)^2} = |c + 7t|\).

3. Подставим значения c и t:

   Дано: \(c = 8\frac{5}{12}\) и \(t = \frac{1}{12}\).

   Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(c = 8\frac{5}{12} = \frac{8 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{96 + 5}{12} = \frac{101}{12}\).

4. Вычислим значение выражения:

   \(c + 7t = \frac{101}{12} + 7 \cdot \frac{1}{12} = \frac{101}{12} + \frac{7}{12} = \frac{101 + 7}{12} = \frac{108}{12}\).

   \(\frac{108}{12} = 9\).

5. Найдем значение корня:

   \(|c + 7t| = |9| = 9\).

Ответ: 9