8. Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}\) при \(a = 3\frac{3}{7}\) и \(b = \frac{1}{7}\).

Решение:

Выражение под корнем \(a^2 + 8ab + 16b^2\) является полным квадратом суммы \((a + 4b)^2\), так как \(a^2\) — квадрат первого члена, \((4b)^2 = 16b^2\) — квадрат второго члена, а \(2 \cdot a \cdot 4b = 8ab\) — удвоенное произведение первого и второго членов.

Таким образом, \(\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2} = \sqrt{(a + 4b)^2} = |a + 4b|\).

Подставим данные значения \(a = 3\frac{3}{7}\) и \(b = \frac{1}{7}\).

Переведём смешанное число \(a\) в неправильную дробь: \(a = 3\frac{3}{7} = \frac{3 × 7 + 3}{7} = \frac{21 + 3}{7} = \frac{24}{7}\).

Вычислим \(a + 4b\):

\(a + 4b = \frac{24}{7} + 4 × \frac{1}{7} = \frac{24}{7} + \frac{4}{7} = \frac{24 + 4}{7} = \frac{28}{7} = 4\).

Так как \(a + 4b = 4\), что является положительным числом, то \(|a + 4b| = 4\).

Ответ: 4