8. Найдите значение выражения \( \frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}} \). Ответ:

Решение:

Для нахождения значения выражения приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \).

1. \( \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3} \)
2. \( \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2+\sqrt{3} \)
3. Сложим полученные значения: \( (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4 \)

Ответ: 4.