8. Найдите все корни уравнения log0,5 (x+2)+log0,5 (x+3) = log0,53-1.

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения. Так как аргументы логарифмов должны быть положительными, имеем: \( x+2 > 0 \) и \( x+3 > 0 \). Это означает, что \( x > -2 \) и \( x > -3 \). Следовательно, ОДЗ: \( x > -2 \).
2. Применим свойство логарифма суммы: \( \log_{0,5}(x+2) + \log_{0,5}(x+3) = \log_{0,5}((x+2)(x+3)) \).
3. Перепишем правую часть уравнения: \( \log_{0,5}3 - 1 = \log_{0,5}3 - \log_{0,5}0,5 \). Используя свойство разности логарифмов, получаем: \( \log_{0,5}\left(\frac{3}{0,5}\right) = \log_{0,5}6 \).
4. Теперь уравнение выглядит так: \( \log_{0,5}((x+2)(x+3)) = \log_{0,5}6 \).
5. Так как основания логарифмов равны \( 0,5 \), приравняем аргументы: \( (x+2)(x+3) = 6 \).
6. Раскроем скобки и приведём к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 + 3x + 2x + 6 = 6 \) \( x^2 + 5x = 0 \).
7. Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \( x(x+5) = 0 \).
8. Получаем два возможных решения: \( x = 0 \) или \( x+5 = 0 \), что даёт \( x = -5 \).
9. Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ \( x > -2 \).
• Корень \( x = 0 \) удовлетворяет условию \( x > -2 \).
• Корень \( x = -5 \) не удовлетворяет условию \( x > -2 \).

Ответ: 0.