8. Найдите точки графика функции f(x) = x³-3x² + 3х, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Решение:

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, когда её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в данной точке. Найдём производную функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x \).

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 3x) = 3x^2 - 6x + 3 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс:

\[ 3x^2 - 6x + 3 = 0 \]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое является полным квадратом:

\[ (x - 1)^2 = 0 \]

Отсюда находим значение \( x \):

\[ x - 1 = 0 \]

\[ x = 1 \]

Теперь найдём соответствующее значение \( y \), подставив \( x = 1 \) в исходную функцию \( f(x) \):

\[ f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) = 1 - 3 + 3 = 1 \]

Таким образом, точка графика, в которой касательная параллельна оси абсцисс, имеет координаты (1, 1).

Ответ: (1, 1).