8. Найдите площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 20 см, а диагональ боковой грани равна 16 см.

Решение:

Пусть \( a \) — сторона основания, \( h \) — высота призмы. Диагональ правильной четырехугольной призмы \( d \) находится по формуле: \( d^2 = a^2 + a^2 + h^2 \).

Диагональ боковой грани \( d_{бок} \) прямоугольника (боковой грани) находится по теореме Пифагора: \( d_{бок}^2 = a^2 + h^2 \).

По условию задачи:

• \( d = 20 \) см, значит \( d^2 = 20^2 = 400 \) см².
• \( d_{бок} = 16 \) см, значит \( d_{бок}^2 = 16^2 = 256 \) см².

Подставим известные значения в формулы:

1. \( 400 = 2a^2 + h^2 \)
2. \( 256 = a^2 + h^2 \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 400 - 256 \)

\( a^2 = 144 \)

\( a = \sqrt{144} = 12 \) см.

Теперь найдём высоту \( h \), подставив \( a^2 \) во второе уравнение:

\( 256 = 144 + h^2 \)

\( h^2 = 256 - 144 = 112 \)

\( h = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7} \) см.

Площадь полной поверхности призмы \( S_{полн} \) равна сумме площади двух оснований \( S_{осн} \) и площади боковой поверхности \( S_{бок} \).

\( S_{осн} = a^2 \).

\( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.

\( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 12 = 48 \) см.

\( S_{осн} = 12^2 = 144 \) см².

\( S_{бок} = 48 \cdot 4\sqrt{7} = 192\sqrt{7} \) см².

\( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 144 + 192\sqrt{7} = 288 + 192\sqrt{7} \) см².

Ответ: \( 288 + 192\sqrt{7} \) см².