8. На рисунке изображён график y = f'(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 2). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-5; -2].

Решение:

Точки экстремума функции \( f(x) \) соответствуют точкам, где производная \( f'(x) \) равна нулю или не существует. На графике видно, что \( f'(x) = 0 \) в точках, где кривая пересекает ось x. На интервале \( [-5; -2] \) таких точек нет. Однако, экстремумы могут также возникать на границах отрезка, если производная меняет знак. В данном случае, нужно найти точку, где \( f'(x) \) имеет экстремум (максимум или минимум) или где \( f'(x) = 0 \).

Анализируем график \( y = f'(x) \) на отрезке \( [-5; -2] \):

• В точке \( x = -5 \), \( f'(-5) \) примерно равно 2.
• В точке \( x = -2 \), \( f'(-2) \) примерно равно -1.
• Внутри интервала \( (-5; -2) \) график \( f'(x) \) имеет локальный максимум. Видно, что \( f'(x) \) достигает своего максимального значения примерно при \( x = -4 \), где \( f'(-4) \) примерно равно 2.5.
• Также, есть точка, где \( f'(x) \) равна нулю, это примерно \( x = -3 \). В этой точке происходит смена знака \( f'(x) \) с положительного на отрицательный, что соответствует локальному максимуму функции \( f(x) \).

На отрезке \( [-5; -2] \), функция \( f(x) \) будет иметь экстремум в точке, где \( f'(x) = 0 \). Это происходит примерно при \( x = -3 \).

Ответ: -3