8. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой Хо. Найди значение производной функции f(x) в точке Х0.

Привет! Давай разберемся с этой задачкой.

Помнишь, что производная функции в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке?

Посмотри на рисунок. У нас есть график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой Хо. Наша задача — найти значение производной f'(x0).

Касательная — это прямая линия. Мы можем найти ее наклон (угловой коэффициент), если возьмем две точки на этой прямой и посчитаем, насколько изменилась координата y при изменении координаты x.

Давай найдем две удобные точки на касательной:

• Одна точка — это точка касания (Хо, f(Хо)). По рисунку видно, что эта точка находится примерно на x = 2, а значение y примерно -1. Но это не точно, и нам не очень нужно.
• Давай лучше найдем другую точку, которая точно лежит на касательной и через которую проходит координатная сетка. Смотри, касательная проходит через точку (0, 1).
• Еще одна точка, через которую проходит касательная — это точка (2, -1).

Теперь посчитаем тангенс угла наклона касательной, используя эти две точки: (0, 1) и (2, -1).

Формула для углового коэффициента (k) прямой:

\[ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Подставим наши точки:

\[ k = \frac{-1 - 1}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Значит, угловой коэффициент касательной равен -1.

А поскольку производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, то:

\[ f'(x_0) = -1 \]

Ответ: -1