8. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в то абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.

Решение:

Производная функции в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Касательная — это прямая линия, поэтому её производная постоянна и равна угловому коэффициенту прямой.

Чтобы найти значение производной \( f'(x_0) \), нужно определить угловой коэффициент касательной. Угловой коэффициент прямой можно найти, выбрав две любые точки на прямой и вычислив разность ординат, делённую на разность абсцисс.

График 1:

Выберем две точки на касательной: \( (-1, 2) \) и \( (1, 0) \).

\( f'(x_0) = \frac{0 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-2}{2} = -1 \).

График 2:

Выберем две точки на касательной: \( (-6, 0) \) и \( (0, -3) \).

\( f'(x_0) = \frac{-3 - 0}{0 - (-6)} = \frac{-3}{6} = -0.5 \).

График 3:

Выберем две точки на касательной: \( (-1, 2) \) и \( (1, 0) \).

\( f'(x_0) = \frac{0 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-2}{2} = -1 \).

График 4:

Выберем две точки на касательной: \( (-4, 6) \) и \( (0, 4) \).

\( f'(x_0) = \frac{4 - 6}{0 - (-4)} = \frac{-2}{4} = -0.5 \).

График 5:

Выберем две точки на касательной: \( (-3, 6) \) и \( (1, 4) \).

\( f'(x_0) = \frac{4 - 6}{1 - (-3)} = \frac{-2}{4} = -0.5 \).

График 6:

Выберем две точки на касательной: \( (-2, -2) \) и \( (1, -5) \).

\( f'(x_0) = \frac{-5 - (-2)}{1 - (-2)} = \frac{-3}{3} = -1 \).

Ответ: Значения производной в точке \( x_0 \) для каждого графика: -1, -0.5, -1, -0.5, -0.5, -1.