8 класс К-4, В-2 1. В прямоугольном треугольнике АВС высота BD равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos A. 2. Диагональ АС прямоугольника ABCD равна 8 см и составляет со стороной AD угол в 45°. Найдите площадь прямоугольника. 3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1 : 8. Найдите осно- вания трапеции и её площадь.

Решение:

1. 1. Найдем АВ и cos A.
   В прямоугольном треугольнике BDC: \( BC^2 = BD^2 + DC^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900 \). \( BC = \sqrt{900} = 30 \) см.
   По свойству высоты прямоугольного треугольника: \( BD^2 = AD \cdot DC \).
   \( 24^2 = AD \cdot 18 \) → \( 576 = AD \cdot 18 \) → \( AD = \frac{576}{18} = 32 \) см.
   \( AC = AD + DC = 32 + 18 = 50 \) см.
   В прямоугольном треугольнике ABC: \( AB^2 = AC^2 - BC^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600 \). \( AB = \sqrt{1600} = 40 \) см.
   \( \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} \).
2. 2. Найдем площадь прямоугольника ABCD.
   В прямоугольном треугольнике ADC: \( AD = AC \cdot \cos(45^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.
   \( CD = AC \cdot \sin(45^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.
   Площадь прямоугольника: \( S = AD \cdot CD = 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 16 \cdot 2 = 32 \) см².
3. 3. Найдем основания трапеции и её площадь.
   Пусть основания трапеции равны \( x \) и \( 8x \).
   Средняя линия равна полусумме оснований: \( m = \frac{a+b}{2} \).
   \( 18 = \frac{x+8x}{2} \) → \( 36 = 9x \) → \( x = 4 \) см.
   Основания: \( a = 4 \) см, \( b = 8 \cdot 4 = 32 \) см.
   В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, значит, прилежащий к меньшему основанию тупой. Угол при меньшем основании — 90°, прилежащий к большему — 135°. Боковая сторона равна высоте.
   Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник с углом 45° (180° - 135°).
   Пусть основания AD = 32, BC = 4. Угол D = 90°, угол A = 135° (неверно).
   Пусть основания AB = 4, CD = 32. Угол B = 90°, угол C = 135°. Тогда угол D = 45°.
   Проведем высоту BK к основанию CD. \( BK = AB = 4 \) см.
   В прямоугольном треугольнике BKC: \( \angle KCB = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \). \( CK = BK = 4 \) см.
   \( KD = CD - CK = 32 - 4 = 28 \) см.
   Площадь трапеции: \( S = m \cdot h = 18 \cdot 4 = 72 \) см².

Ответ: 1. AB = 40 см, cos A = 4/5. 2. Площадь = 32 см². 3. Основания = 4 см и 32 см, площадь = 72 см².