8. Из данных неравенств выберите те, которые верны при любом значении а:

Задание 8. Неравенства

Чтобы определить, какие неравенства верны при любом значении а, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в каждом неравенстве, а затем проанализировать полученное выражение.

а) 4a² + a > (2a - 11)(11 + 2a) + a

Раскроем скобки: (2a - 11)(11 + 2a) = 4a² + 4a² - 121 - 22a = 8a² - 121 - 22a

Неравенство примет вид: 4a² + a > 8a² - 121 - 22a + a

4a² + a > 8a² - 21a - 121

0 > 4a² - 22a - 121

Это квадратное неравенство. Чтобы оно выполнялось при любом а, парабола y = 4a² - 22a - 121 должна быть ниже оси x. Это возможно, если ветви параболы направлены вниз (a > 0) и дискриминант отрицателен. В нашем случае ветви направлены вверх (коэффициент при a² положительный), поэтому это неравенство не выполняется при любом а.

б) 9a(a + 2) > (3a + 4)² - 31

Раскроем скобки: 9a² + 18a > 9a² + 24a + 16 - 31

9a² + 18a > 9a² + 24a - 15

18a > 24a - 15

15 > 6a

a < 15/6

a < 2.5

Это неравенство выполняется не при любом а, а только при а < 2.5.

в) 0,5(a - 16)(a + 16) > (1,5a - 2)a

Раскроем скобки: 0,5(a² - 256) > 1,5a² - 2a

0,5a² - 128 > 1,5a² - 2a

0 > a² - 2a + 128

Это квадратное неравенство. Чтобы оно выполнялось при любом а, парабола y = a² - 2a + 128 должна быть ниже оси x. Ветви параболы направлены вверх (коэффициент при a² положительный), поэтому это неравенство не выполняется при любом а.

г) 2(4a + 1)(8a - 2) < (2a - 1) · 16 · (1 + 2a)

Раскроем скобки:

Левая часть: 2(32a² - 8a + 8a - 2) = 2(32a² - 2) = 64a² - 4

Правая часть: (2a - 1) · 16 · (1 + 2a) = (32a - 16)(1 + 2a) = 32a + 64a² - 16 - 32a = 64a² - 16

Неравенство примет вид: 64a² - 4 < 64a² - 16

-4 < -16

Это ложное утверждение. Значит, данное неравенство не выполняется ни при каком значении а.

Вывод: Ни одно из предложенных неравенств не является верным при любом значении а.