8. Функция задана формулой f(x) = 2x + x^2/2 - x^3/3. Решите неравенство f'(x) ≥ 0.

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) \).

\( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \)

\( f'(x) = 2 + \frac{2x}{2} - \frac{3x^2}{3} \)

\( f'(x) = 2 + x - x^2 \)

Теперь решим неравенство \( f'(x) \ge 0 \):

\( -x^2 + x + 2 \ge 0 \)

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

\( x^2 - x - 2 \le 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 2 = 0 \).

Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \)

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{9} = 3 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь определим интервалы, на которых \( x^2 - x - 2 \le 0 \). График параболы \( y = x^2 - x - 2 \) направлен ветвями вверх, и корни равны -1 и 2. Значит, парабола находится ниже оси Ox (то есть \( y \le 0 \)) при \( x \in [-1; 2] \).

Таким образом, решение неравенства \( f'(x) \ge 0 \) будет \( x \in [-1; 2] \).

Ответ: \( x \in [-1; 2] \).