8) f(x) = (4x-√x+2)/x^2 f'(x) = ((4x-√x+2)')*x^2 - (4x-√x+2)*(x^2)') / (x^2)^2 = (4 - 1/(2√x))*x^2 - (4x-√x+2)*2x / x^4 =

Решение:

Вычислим производную функции \( f(x) = \frac{4x-\sqrt{x}+2}{x^2} \) с помощью правила дифференцирования частного:

\( f'(x) = \frac{(4x-\sqrt{x}+2)' \cdot x^2 - (4x-\sqrt{x}+2) \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} \)

Найдем производные отдельных частей:

• \( (4x-\sqrt{x}+2)' = 4 - \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
• \( (x^2)' = 2x \)

Подставим найденные производные обратно в формулу:

\( f'(x) = \frac{(4 - \frac{1}{2\sqrt{x}}) \cdot x^2 - (4x-\sqrt{x}+2) \cdot 2x}{x^4} \)

Упростим числитель:

\( (4x^2 - \frac{x^2}{2\sqrt{x}}) - (8x^2 - 2x\sqrt{x} + 4x) \)

\( 4x^2 - \frac{x^{3/2}}{2} - 8x^2 + 2x\sqrt{x} - 4x \)

\( -4x^2 - \frac{x^{3/2}}{2} + 2x^{3/2} - 4x \)

\( -4x^2 + \frac{3}{2}x^{3/2} - 4x \)

Таким образом, производная равна:

\( f'(x) = \frac{-4x^2 + \frac{3}{2}x^{3/2} - 4x}{x^4} \)

Можно также вынести \( x \) из числителя:

\( f'(x) = \frac{x(-4x + \frac{3}{2}x^{1/2} - 4)}{x^4} = \frac{-4x + \frac{3}{2}\sqrt{x} - 4}{x^3} \)

Ответ: \( f'(x) = \frac{-4x + \frac{3}{2}\sqrt{x} - 4}{x^3} \).