8) f(x) = (4x - sqrt(x) + 2) / x^2, find f'(x).

Решение:

Используем правило дифференцирования частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = 4x - \sqrt{x} + 2 \) и \( v = x^2 \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = (4x - x^{1/2} + 2)' = 4 - \frac{1}{2}x^{-1/2} = 4 - \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
• \( v' = (x^2)' = 2x \)

Подставим в формулу:

\[ f'(x) = \frac{\left(4 - \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cdot x^2 - (4x - \sqrt{x} + 2) \cdot 2x}{(x^2)^2} \]\[ f'(x) = \frac{4x^2 - \frac{x^2}{2\sqrt{x}} - (8x^2 - 2x\sqrt{x} + 4x)}{x^4} \]\[ f'(x) = \frac{4x^2 - \frac{x\sqrt{x}}{2} - 8x^2 + 2x\sqrt{x} - 4x}{x^4} \]\[ f'(x) = \frac{-4x^2 - \frac{x\sqrt{x}}{2} + 2x\sqrt{x} - 4x}{x^4} \]\[ f'(x) = \frac{-4x^2 - \frac{x\sqrt{x}}{2} + \frac{4x\sqrt{x}}{2} - 4x}{x^4} \]\[ f'(x) = \frac{-4x^2 + \frac{3x\sqrt{x}}{2} - 4x}{x^4} \]

Промежуточный шаг из вашего изображения:

Ваш промежуточный шаг:

\[ f'(x) = \frac{\left(4 - \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cdot x^2 - (4x - \sqrt{x} + 2) \cdot 2x}{x^4} \]

Ответ: \( f'(x) = \frac{-4x^2 + \frac{3x\sqrt{x}}{2} - 4x}{x^4} \).