8) Докажите, что если биссектриса внешнего угла одной из его сторон, то этот треугольник - равнобедренный.

Решение:

Пусть дан \( \triangle ABC \). Проведём биссектрису внешнего угла при вершине \( C \). Обозначим эту биссектрису как \( CL \).

Пусть \( CL ‖ AB \). Нам нужно доказать, что \( \triangle ABC \) — равнобедренный, то есть \( AC = BC \).

1. Внешний угол при вершине \( C \) равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним: \( \angle BCL = \angle A + \angle B \).

2. Так как \( CL \) — биссектриса внешнего угла, то она делит его на два равных угла: \( \angle BCL = \angle ACL \).

3. Из равенства биссектрисы и внешнего угла имеем: \( \angle ACL = \angle A + \angle B \).

4. Рассмотрим прямые \( AC \) и \( BC \) и секущую \( CL \). Углы \( \angle ACL \) и \( \angle A \) являются накрест лежащими при пересечении прямых \( AC \) и \( AB \) секущей \( CL \). Это неверно.

5. Рассмотрим прямые \( AC \) и \( BC \) и секущую \( CL \). Угол \( \angle ACL \) — внешний угол при вершине \( C \). Угол \( \angle A \) — внутренний накрест лежащий угол при параллельных прямых \( CL \) и \( AB \) и секущей \( AC \). Нет, \( CL \) и \( AB \) не параллельны пока.

6. Рассмотрим прямые \( AC \) и \( BC \) и секущую \( CL \). Угол \( \angle ACL \) и угол \( \angle A \) не являются ни накрест лежащими, ни соответственными, ни односторонними.

7. Переформулируем: пусть биссектриса внешнего угла \( C \) (продолжение \( AC \)) параллельна стороне \( AB \). Обозначим точку пересечения биссектрисы с \( AB \) как \( L \). Угол \( \angle BCL \) — внешний угол \( △ ABC \).

8. \( \angle BCL = \angle A + \angle B \).

9. \( CL \) — биссектриса \( \angle BCL \), значит \( \angle BCL = 2 \angle ACL \).

10. \( CL ‖ AB \).

11. Так как \( CL ‖ AB \) и \( AC \) — секущая, то \( \angle ACL = \angle CAB = \angle A \) (накрест лежащие углы).

12. Так как \( CL ‖ AB \) и \( BC \) — секущая, то \( \angle BCL = \angle CBA = \angle B \) (соответственные углы).

13. Подставляем в равенство из шага 8: \( \angle BCL = \angle A + \angle B \).

14. Из шага 12: \( \angle BCL = \angle B \). Следовательно, \( \angle B = \angle A + \angle B \), что возможно только если \( \angle A = 0 \), что невозможно.

15. Давайте перечитаем условие: «биссектриса внешнего угла одной из его сторон». Это значит, что биссектриса внешнего угла параллельна одной из сторон треугольника.

16. Пусть биссектриса внешнего угла при вершине \( C \), обозначим её \( CL \), параллельна стороне \( AB \). \( CL ‖ AB \).

17. Угол \( \angle BCL \) — внешний угол \( △ ABC \). \( \angle BCL = \angle A + \angle B \).

18. \( CL \) — биссектриса, значит \( \angle ACL = \angle BCL \).

19. Из \( CL ‖ AB \) и секущей \( AC \), имеем \( \angle ACL = \angle CAB = \angle A \) (накрест лежащие).

20. Из \( CL ‖ AB \) и секущей \( BC \), имеем \( \angle BCL = \angle CBA = \angle B \) (соответственные).

21. Из равенства биссектрисы \( \angle ACL = \angle BCL \) следует \( \angle A = \angle B \).

22. Если \( \angle A = \angle B \), то \( △ ABC \) — равнобедренный с основанием \( AB \).

Доказано.