8. Длина диагонали АС квадрата ABCD равна 8 см.

Решение:

Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом. В точке пересечения диагонали делятся пополам.

Диагональ AC = 8 см. Следовательно, AE = EC = BE = ED = 8 / 2 = 4 см.

1) Найди площадь треугольника AED.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. В равнобедренном треугольнике AED, основание AD, высота EO (где O - точка пересечения диагоналей, в данном случае E). Или можно использовать формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

\( S_{AED} = \frac{1}{2} · AE · ED · \sin(\angle AED) \)

Так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, \( \angle AED = 90^{\circ} \) и \( \sin(90^{\circ}) = 1 \).

\( S_{AED} = \frac{1}{2} · 4 · 4 · 1 = \frac{1}{2} · 16 = 8 \) см².

Ответ: 8 см².

2) Найди площадь треугольника BCD.

Площадь треугольника BCD можно найти как половину площади квадрата, так как диагональ BD делит квадрат на два равных треугольника.

Сначала найдем длину стороны квадрата. По теореме Пифагора в треугольнике ABC: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \).

Так как ABCD — квадрат, \( AB = BC \). Обозначим сторону квадрата как \( a \). Тогда \( a^2 + a^2 = 8^2 \) (где 8 см - длина диагонали AC).

\( 2a^2 = 64 \)

\( a^2 = 32 \)

\( a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см.

Площадь квадрата ABCD равна \( a^2 = 32 \) см².

Площадь треугольника BCD равна половине площади квадрата:

\( S_{BCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} · 32 = 16 \) см².

Ответ: 16 см².

3) Найди площадь квадрата ABCD.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Мы нашли, что \( a^2 = 32 \) см².

Ответ: 32 см².

4) Сколько на рисунке прямых углов?

В квадрате ABCD все углы прямые: \( \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ} \).

Также, диагонали квадрата пересекаются под прямым углом в точке E. Это означает, что углы \( \angle AEB, \angle BEC, \angle CED, \angle DEA \) также являются прямыми.

Всего на рисунке 8 прямых углов (4 угла квадрата и 4 угла при пересечении диагоналей).

Ответ: 8.