8. Диагностика 30 машин в автосервисе показала, что у 5 машин нужно заменить тормозные колодки, а у 10 машин – заменить воздушный фильтр (колодки и фильтр требуют замены независимо друг от друга). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях вне зависимости от того, какие машины нуждаются в замене фильтра, а какие - в замене колодок.

Анализ данных:

• Всего машин: 30
• Машин, которым нужны новые колодки: 5
• Машин, которым нужен новый фильтр: 10
• Замена колодок и фильтра происходят независимо друг от друга.

Рассмотрим утверждения:

1. Найдётся 6 машин, в которых нужно поменять и колодки, и фильтр.

   Если бы замены колодок и фильтров были полностью независимыми событиями, то вероятность замены колодок была бы 5/30, а фильтра – 10/30. Ожидаемое число машин, требующих обеих замен, было бы: 30 * (5/30) * (10/30) = 30 * (1/6) * (1/3) = 5/3 = 1.67. Это не 6.

   Однако, условие "независимо друг от друга" здесь может трактоваться как отсутствие пересечения между группами машин. Это означает, что машины, которым нужны колодки, не обязательно те же, что и те, которым нужен фильтр.

   Давайте рассмотрим крайние случаи:

   • Минимальное пересечение: Если машины, которым нужны колодки, максимально отличаются от тех, которым нужен фильтр.
   • Максимальное пересечение: Если машины, которым нужны колодки, входят в число тех, которым нужен фильтр.

   Важно: Условие "независимо друг от друга" в контексте задач на множества часто подразумевает, что мы не можем точно знать пересечение, но можем оценить его диапазон.

   Рассуждение для утверждения 1:

   Пусть A - множество машин, которым нужны колодки (|A| = 5). Пусть B - множество машин, которым нужен фильтр (|B| = 10). Общее число машин N = 30.

   Максимальное число машин, которые нуждаются в замене и колодок, и фильтра, равно минимуму из |A| и |B|, то есть min(5, 10) = 5.

   Минимальное число машин, которые нуждаются в замене и колодок, и фильтра, можно найти по формуле: |A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|. Поскольку |A ∪ B| ≤ N, то |A ∩ B| ≥ |A| + |B| - N = 5 + 10 - 30 = -15. Так как количество машин не может быть отрицательным, минимальное пересечение равно 0 (если все 5 машин, нуждающихся в колодках, не нуждаются в фильтре, и 5 из 10 машин, нуждающихся в фильтре, не нуждаются в колодках).

   Таким образом, число машин, нуждающихся в обеих заменах, может быть от 0 до 5. Утверждение "Найдётся 6 машин" неверно, так как максимальное число таких машин - 5.

2. Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни колодки, ни фильтр.

   Количество машин, которым НУЖНО менять колодки ИЛИ фильтр (|A ∪ B|), находится в диапазоне:

   • Максимум |A ∪ B| = |A| + |B| = 5 + 10 = 15 (если нет пересечений).
   • Минимум |A ∪ B| = max(|A|, |B|) = max(5, 10) = 10 (если множество A является подмножеством B).

   Следовательно, количество машин, которым НЕ нужно менять ни колодки, ни фильтр (N - |A ∪ B|), находится в диапазоне:

   • Минимум: 30 - 15 = 15
   • Максимум: 30 - 10 = 20

   Таким образом, число машин, не требующих никаких замен, может быть от 15 до 20. Утверждение "Найдётся 9 машин" неверно, так как минимальное число таких машин - 15.

3. Не найдётся 7 машин, в которых нужно менять и колодки, и фильтр.

   Как мы выяснили в пункте 1, максимальное число машин, которым нужно менять и колодки, и фильтр, равно 5.

   Так как 5 < 7, то утверждение "Не найдётся 7 машин" является верным. Действительно, таких машин не может быть 7, потому что максимум их может быть только 5.

Вывод:

Единственное верное утверждение - третье.

Ответ: 3