8. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 8см.

Решение:

Пусть биссектрисы углов A и D пересекаются в точке K на стороне BC.

В параллелограмме ABCD углы A и B, а также D и C являются соседними, поэтому их сумма равна 180°.

Угол A + Угол B = 180°.

Угол D + Угол C = 180°.

Так как AK — биссектриса угла A, то \(\angle BAK = \angle KAD = \frac{\angle A}{2}\).

Так как DK — биссектриса угла D, то \(\angle ADK = \angle KDC = \frac{\angle D}{2}\).

Рассмотрим треугольник ABK. Углы ABK и BAK равны.

Рассмотрим треугольник KCD. Углы KCD и KDC равны.

Так как ABCD — параллелограмм, то AB || DC и BC || AD.

Рассмотрим треугольник ADK. Угол DAK = \(\frac{\angle A}{2}\) и угол ADK = \(\frac{\angle D}{2}\). Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\(\angle DAK + \angle ADK + \angle AKD = 180°\)

\(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle D}{2} + \angle AKD = 180°\)

\(\frac{\angle A + \angle D}{2} + \angle AKD = 180°\)

В параллелограмме сумма двух соседних углов равна 180°, значит \(\angle A + \angle D = 180°\).

\(\frac{180°}{2} + \angle AKD = 180°\)

\(90° + \angle AKD = 180°\)

\(\angle AKD = 90°\).

Рассмотрим треугольник ABK. Угол \(\angle BAK = \frac{\angle A}{2}\).

Так как AB || DK, то \(\angle AKD = \angle KAB = \frac{\angle A}{2}\) (как накрест лежащие углы).

Так как DK || AB, то \(\angle AKB = \angle DKC\) (как вертикальные).

Также, так как AB || DK, то \(\angle AKB = \angle KAD\) (как накрест лежащие).

Это означает, что \(\angle AKD = \angle KAD = \frac{\angle A}{2}\). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Значит, треугольник ADK — равнобедренный, и \(AK = DK\).

Рассмотрим треугольник ABK. \(\angle BAK = \frac{\angle A}{2}\). \(\angle ABK = \angle B\). \(\angle AKB\).

Так как AK — биссектриса, то \(\angle BAK = \angle KAD = \frac{\angle A}{2}\). Так как DK — биссектриса, то \(\angle ADK = \angle KDC = \frac{\angle D}{2}\).

Углы \(\angle KAD\) и \(\angle ADK\) являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей DK, поэтому \(\angle KAD = \angle ADK\). Это означает, что треугольник ADK — равнобедренный.

Рассмотрим треугольник ABK. \(\angle KAB = \frac{\angle A}{2}\). \(\angle ABK = \angle B\). \(\angle AKB\).

Также, поскольку AD || BC, то \(\angle DAK = \angle AKB\) (как накрест лежащие).

Значит, \(\angle KAB = \angle AKB = \frac{\angle A}{2}\). Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK. Отсюда \(AB = BK\).

Аналогично, рассмотрим треугольник KCD. \(\angle KDC = \frac{\angle D}{2}\). \(\angle KCD = \angle C\). \(\angle CKD\).

Поскольку AB || DC, то \(\angle KDC = \angle AKD\) (как накрест лежащие).

Значит, \(\angle KDC = \angle AKD = \frac{\angle D}{2}\). Следовательно, треугольник KCD — равнобедренный с основанием KC. Отсюда \(CD = KC\).

По условию, AB = 8 см. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому CD = AB = 8 см.

Так как BK = AB и CD = KC, то BK = 8 см и KC = 8 см.

Сторона BC = BK + KC = 8 см + 8 см = 16 см.

Периметр параллелограмма ABCD равен \(2 \cdot (AB + BC)\).

Периметр = \(2 \cdot (8 + 16) = 2 \cdot 24 = 48\) см.

Ответ: 48 см.