8. (12 баллов) Человек, стоящий на гладкой поверхности, бросает камень в горизонтальном направлении. Камень покидает руку человека на высоте h = 1,8 м и падает на горизонтальную поверхность на расстоянии L = 9 м от места бросания. Какую работу совершил человек, если его масса т₁ = 60 кг; масса камня т2 = 3 кг?

Решение:

Работа, совершённая человеком при броске камня, равна изменению кинетической энергии камня в момент отрыва от руки. Так как движение камня горизонтальное, работа совершается только для сообщения камню начальной горизонтальной скорости.

Движение камня можно разбить на два независимых компонента: горизонтальное и вертикальное.

1. Вертикальное движение:

Камень падает с высоты \( h = 1.8 \) м. Время падения \( t \) можно найти из уравнения движения по вертикали:

\[ h = \frac{1}{2}gt^2 \]

Отсюда время падения:

\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Подставим значения: \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \)

\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.8 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{3.6}{9.8}} \text{ с} \approx \sqrt{0.367} \text{ с} \approx 0.606 \text{ с} \]

2. Горизонтальное движение:

Начальная горизонтальная скорость \( v_0 \) сообщает камню человек. Эта скорость постоянна, так как трением о воздух пренебрегаем. Расстояние \( L \), которое прошёл камень по горизонтали, равно:

\[ L = v_0 t \]

Отсюда начальная скорость камня:

\[ v_0 = \frac{L}{t} \]

Подставим значения:

\[ v_0 = \frac{9 \text{ м}}{0.606 \text{ с}} \approx 14.85 \text{ м/с} \]

3. Работа, совершённая человеком:

Работа, совершённая человеком, равна изменению кинетической энергии камня. Так как до броска камень покоился, изменение кинетической энергии равно его конечной кинетической энергии:

\[ A = \Delta E_k = E_{k, \text{камень}} - E_{k, \text{начальная}} = \frac{1}{2}m_2 v_0^2 - 0 \]

Подставим значения:

\[ A = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ кг} \cdot (14.85 \text{ м/с})^2 \approx \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ кг} \cdot 220.52 \text{ м}^2/\text{с}^2 \approx 330.78 \text{ Дж} \]

Масса человека \( m_1 \) не влияет на работу, совершённую им при броске камня, при условии, что поверхность гладкая (нет силы трения, которая могла бы удержать человека).

Ответ: Работа, совершённая человеком, приблизительно равна 331 Дж.