8.05.267. Классная работа. Проверочная работа. a) 3x² - 7x + 2 = 0 б) 25x² - 81 = 0 в) 6x² = 18x г) (x - 2)² - 3(x - 2) - 54 = 0

Решение:

Сейчас решим каждое квадратное уравнение по очереди:

1. Уравнение а): 3x² - 7x + 2 = 0

   Это квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0. Будем решать через дискриминант (D).

   • a = 3, b = -7, c = 2
   • Дискриминант: D = b² - 4ac
   • D = (-7)² - 4 * 3 * 2 = 49 - 24 = 25
   • √D = √25 = 5
   • Корни уравнения: x = (-b ± √D) / (2a)
   • x₁ = (7 + 5) / (2 * 3) = 12 / 6 = 2
   • x₂ = (7 - 5) / (2 * 3) = 2 / 6 = 1/3

2. Уравнение б): 25x² - 81 = 0

   Это тоже квадратное уравнение, но без члена с x (b=0). Можно решить двумя способами:

   • Способ 1: Через дискриминант
   • a = 25, b = 0, c = -81
   • D = 0² - 4 * 25 * (-81) = 0 + 8100 = 8100
   • √D = √8100 = 90
   • x₁ = (0 + 90) / (2 * 25) = 90 / 50 = 9/5 = 1.8
   • x₂ = (0 - 90) / (2 * 25) = -90 / 50 = -9/5 = -1.8
   • Способ 2: Через перенос и извлечение корня
   • 25x² = 81
   • x² = 81 / 25
   • x = ±√(81/25)
   • x = ±9/5, что равно ±1.8

3. Уравнение в): 6x² = 18x

   Чтобы решить это уравнение, перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель. Важно: не делим на x, иначе потеряем один из корней!

   • 6x² - 18x = 0
   • Вынесем общий множитель 6x: 6x(x - 3) = 0
   • Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   • 6x = 0 => x₁ = 0
   • x - 3 = 0 => x₂ = 3

4. Уравнение г): (x - 2)² - 3(x - 2) - 54 = 0

   Это уравнение выглядит сложнее, но давайте сделаем замену переменной. Пусть y = (x - 2).

   • Тогда уравнение примет вид: y² - 3y - 54 = 0
   • Решаем это квадратное уравнение для y через дискриминант:
   • a = 1, b = -3, c = -54
   • D = (-3)² - 4 * 1 * (-54) = 9 + 216 = 225
   • √D = √225 = 15
   • Найдем корни для y:
   • y₁ = (3 + 15) / (2 * 1) = 18 / 2 = 9
   • y₂ = (3 - 15) / (2 * 1) = -12 / 2 = -6
   • Теперь возвращаемся к нашей замене: y = (x - 2).
   • Для y₁ = 9:
   • x - 2 = 9 => x₁ = 9 + 2 = 11
   • Для y₂ = -6:
   • x - 2 = -6 => x₂ = -6 + 2 = -4

Ответ:

• а) x₁ = 2, x₂ = 1/3
• б) x₁ = 1.8, x₂ = -1.8
• в) x₁ = 0, x₂ = 3
• г) x₁ = 11, x₂ = -4