78. Начертите треугольник ABC и прямую p, не пересекающую его стороны. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно прямой p. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы треугольника A₁B₁C₁ соответственно равны сторонам и углам треугольника ABC. Выполните ещё раз построение для случая, когда прямая p пересекает две стороны треугольника.

Построение.

1. Для каждой вершины A, B и C проведём перпендикуляр к прямой p.
2. На продолжении каждого перпендикуляра по другую сторону от p отложим отрезки, равные расстояниям от соответствующих вершин до p: \(AA_1=2d(A,p)\), \(BB_1=2d(B,p)\), \(CC_1=2d(C,p)\). Тогда прямая p является серединным перпендикуляром к отрезкам \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\).
3. Соединим точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\). Получим треугольник \(A_1B_1C_1\), симметричный треугольнику ABC относительно прямой p.

Проверка. Осевой симметрией сохраняются расстояния и величины углов, поэтому \(A_1B_1=AB\), \(B_1C_1=BC\), \(C_1A_1=CA\), а также \(\angle A_1=\angle A\), \(\angle B_1=\angle B\), \(\angle C_1=\angle C\). Это можно подтвердить измерениями линейкой и транспортиром.

Случай, когда прямая p пересекает две стороны. Построение выполняется тем же способом: из каждой вершины проводят перпендикуляр к p и откладывают за p равное расстояние. Если p пересекает стороны, точки пересечения остаются на месте, так как лежат на оси симметрии.

Ответ: в обоих случаях образ треугольника строится отражением каждой его вершины относительно прямой p; соответствующие стороны и углы равны.