77. - По прямой движутся две материальные точки по законам х₁ (t)=4t² - 3 и х₂ (t) = t³. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?

Решение:

1. Найдем скорости точек. Скорость — это первая производная от координаты по времени.
   Для первой точки: \[ v_1(t) = x_1'(t) = \frac{d}{dt}(4t^2 - 3) = 8t \] Для второй точки: \[ v_2(t) = x_2'(t) = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2 \]
2. Составим неравенство. Нам нужно найти промежуток, где скорость первой точки больше скорости второй: \[ v_1(t) > v_2(t) \] \[ 8t > 3t^2 \]
3. Решим неравенство. Перенесем все в одну часть и найдем корни: \[ 3t^2 - 8t < 0 \] \[ t(3t - 8) < 0 \] Корни уравнения t(3t - 8) = 0: t₁ = 0 и 3t - 8 = 0 → t = 8/3.
4. Определим промежуток. Парабола y = 3t² - 8t направлена ветвями вверх, поэтому неравенство t(3t - 8) < 0 выполняется между корнями. Поскольку время не может быть отрицательным, рассматриваем промежуток t > 0.

Ответ: Скорость первой точки больше скорости второй точки при 0 < t < 8/3.