739. Две автомашины отправились одновременно из села в город, который удалён на 180 км. Одна автомашина пришла в город на 45 мин позже другой, так как её скорость была на 20 км /ч меньше. С какой скоростью шла каждая автомашина?

Привет! Давай разберём эту задачку вместе. Это классическая задача на движение, и мы решим её с помощью уравнений.

Что нам известно:

• Расстояние от села до города: 180 км.
• Одна машина пришла на 45 минут позже другой.
• Скорость одной машины была на 20 км/ч меньше скорости другой.

Что нужно найти: Скорость каждой машины.

Решение:

1. Переведём время в часы: 45 минут = 45/60 часа = 3/4 часа = 0.75 часа.
2. Обозначим скорости:
   Пусть x — это скорость более быстрой машины (в км/ч).
   Тогда скорость медленной машины будет x - 20 (в км/ч).
3. Выразим время в пути для каждой машины:
   Время = Расстояние / Скорость.
   Время быстрой машины: t1 = 180 / x (часов).
   Время медленной машины: t2 = 180 / (x - 20) (часов).
4. Составим уравнение:
   Мы знаем, что медленная машина ехала на 45 минут (0.75 часа) дольше. Значит, её время (t2) больше времени быстрой машины (t1) на 0.75 часа.
   \[ t2 = t1 + 0.75 \]
   Подставляем наши выражения для времени:
   \[ \frac{180}{x - 20} = \frac{180}{x} + 0.75 \]
5. Решим уравнение:
   Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на общий знаменатель: x * (x - 20).
   \[ \frac{180}{x - 20} \cdot x \cdot (x - 20) = \frac{180}{x} \cdot x \cdot (x - 20) + 0.75 \cdot x \cdot (x - 20) \]
   \[ 180x = 180(x - 20) + 0.75x(x - 20) \]
   \[ 180x = 180x - 3600 + 0.75x^2 - 15x \]
6. Упростим и приведём к квадратному уравнению:
   Заметим, что 180x с обеих сторон сокращается:
   \[ 0 = -3600 + 0.75x^2 - 15x \]
   Перенесём всё в одну сторону и поменяем знаки:
   \[ 0.75x^2 - 15x - 3600 = 0 \]
   Чтобы было удобнее, умножим всё на 4 (чтобы избавиться от десятичной дроби 0.75 = 3/4):
   \[ 3x^2 - 60x - 14400 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение (можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета, но для удобства мы используем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac$$).
   В нашем случае: $$a = 3$$, $$b = -60$$, $$c = -14400$$.
   \[ D = (-60)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14400) \]
   \[ D = 3600 + 12 \cdot 14400 \]
   \[ D = 3600 + 172800 \]
   \[ D = 176400 \]
   Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{176400} = 420 \]
8. Найдём корни уравнения:
   \[ x1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 + 420}{2 \cdot 3} = \frac{480}{6} = 80 \]
   \[ x2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 - 420}{2 \cdot 3} = \frac{-360}{6} = -60 \]
9. Выберем подходящий корень:
   Скорость не может быть отрицательной, поэтому x = 80 км/ч — это скорость быстрой машины.
10. Найдём скорость медленной машины:
    Скорость медленной машины = x - 20 = 80 - 20 = 60 км/ч.

Проверка:

• Время быстрой машины: 180 км / 80 км/ч = 2.25 часа.
• Время медленной машины: 180 км / 60 км/ч = 3 часа.
• Разница во времени: 3 часа - 2.25 часа = 0.75 часа, что равно 45 минутам. Всё верно!

Ответ: Скорость первой автомашины (более быстрой) — 80 км/ч, скорость второй автомашины (более медленной) — 60 км/ч.