736 Решите уравнение с параметром b: 2x² - 4x + b = 0.

Решение:

Это квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a = 2, b = -4, а c = b (параметр).

Для нахождения корней квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом D:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим значения:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot b \]

\[ D = 16 - 8b \]

Далее рассмотрим три случая:

1. Если D > 0 (16 - 8b > 0):
• \[ 16 > 8b \]
• \[ b < 2 \]
• В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле:
• \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{16 - 8b}}{2 \cdot 2} \]
• \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8b}}{4} \]
• \[ x = 1 \pm \frac{\sqrt{16 - 8b}}{4} \]
• \[ x = 1 \pm \frac{\sqrt{4(4 - 2b)}}{4} \]
• \[ x = 1 \pm \frac{2\sqrt{4 - 2b}}{4} \]
• \[ x = 1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2b}}{2} \]
2. Если D = 0 (16 - 8b = 0):
• \[ 16 = 8b \]
• \[ b = 2 \]
• В этом случае уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих):
• \[ x = \frac{-b}{2a} \]
• \[ x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 2} \]
• \[ x = \frac{4}{4} \]
• \[ x = 1 \]
3. Если D < 0 (16 - 8b < 0):
• \[ 16 < 8b \]
• \[ b > 2 \]
• В этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

• При b < 2: \[ x = 1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2b}}{2} \]
• При b = 2: x = 1
• При b > 2: действительных корней нет.