725 Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.

Решение:

Для того чтобы окружность была вписана в прямоугольную трапецию, её высота должна быть равна диаметру вписанной окружности. В прямоугольной трапеции высота равна боковой стороне, примыкающей к основаниям под прямым углом. Таким образом, высота трапеции равна диаметру окружности, а радиус равен половине высоты.

В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, сумма противоположных сторон равна.

Пусть основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$, а боковые стороны — $$h$$ (высота) и $$c$$.

По свойству вписанной окружности:

• $$a + b = h + c$$

В прямоугольной трапеции высота $$h$$ равна одной из боковых сторон, то есть $$h = c$$.

Следовательно, $$a + b = h + h = 2h$$.

Отсюда высота $$h = \frac{a+b}{2}$$.

Радиус вписанной окружности $$r$$ равен половине высоты:

• $$r = \frac{h}{2} = \frac{\frac{a+b}{2}}{2} = \frac{a+b}{4}$$

Ответ: $$\frac{a+b}{4}$$