70. Найдите площадь S правильного n-угольника, если:

Решение:

Площадь правильного n-угольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} imes P imes r$$, где P - периметр, r - апофема (радиус вписанной окружности).

Другая формула: $$S = \frac{n imes a^2}{4 imes an(rac{180^\circ}{n})}$$, где a - длина стороны.

Также $$S = \frac{n r^2 an(rac{180^\circ}{n})}{1}$$

Или через радиус описанной окружности R: $$S = \frac{1}{2} n R^2 ext{sin}(rac{360^\circ}{n})$$

а) n = 4, R = $$3\sqrt{2}$$ см;

• Для квадрата (n=4), площадь $$S = \frac{1}{2} imes 4 imes R^2 imes ext{sin}(rac{360^\circ}{4}) = 2 R^2 ext{sin}(90^\circ)$$.
• $$R = 3\sqrt{2}$$ см, $$R^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 imes 2 = 18$$ см².
• $$ ext{sin}(90^\circ) = 1$$.
• $$S = 2 imes 18 imes 1 = 36$$ см².

б) n = 3, P = 24 см;

• Для равностороннего треугольника (n=3), сторона $$a = P / n = 24 ext{ см} / 3 = 8$$ см.
• Площадь правильного треугольника $$S = \frac{a^2 imes \sqrt{3}}{4}$$.
• $$S = \frac{8^2 imes \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \times \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$$ см².

в) n = 6, r = 9 см;

• Для правильного шестиугольника (n=6), площадь $$S = \frac{n r^2 an(rac{180^\circ}{n})}{1}$$.
• $$S = 6 imes 9^2 imes an(rac{180^\circ}{6}) = 6 imes 81 imes an(30^\circ)$$.
• $$ an(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.
• $$S = 6 imes 81 imes \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 imes 81 imes \sqrt{3} = 162\sqrt{3}$$ см².

г) n = 8, r = $$5\sqrt{3}$$ см.

• Для правильного восьмиугольника (n=8), площадь $$S = n r^2 an(rac{180^\circ}{n})$$.
• $$S = 8 imes (5\sqrt{3})^2 imes an(rac{180^\circ}{8}) = 8 imes (25 imes 3) imes an(22.5^\circ)$$.
• $$S = 8 imes 75 imes an(22.5^\circ) = 600 imes an(22.5^\circ)$$.
• $$ an(22.5^\circ) = \sqrt{2} - 1$$.
• $$S = 600 imes (\sqrt{2} - 1) = 600\sqrt{2} - 600$$ см².

Ответ:

• а) $$S = 36$$ см²
• б) $$S = 16\sqrt{3}$$ см²
• в) $$S = 162\sqrt{3}$$ см²
• г) $$S = 600(\sqrt{2} - 1)$$ см²