7) Задача В автоматической сцепке типа «Scharfenberg» электропоезда Ласточка, на торцевой поверхности корпуса головки сцепки расположены конус. Площадь боковой поверхности конуса равна 60π см², расстояние от основания до образующей равно 4.8 см. Найти объем конуса.

Дано:

Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} = 60\pi \) см².

Расстояние от основания до образующей (высота конуса) \( H = 4.8 \) см.

Найти:

Объем конуса \( V \).

Решение:

1. Формула площади боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi R l \), где \( R \) — радиус основания, \( l \) — образующая.
2. Из условия \( S_{бок} = 60\pi \), следовательно, \( \pi R l = 60\pi \), откуда \( R l = 60 \).
3. Расстояние от основания до образующей — это высота конуса \( H = 4.8 \) см.
4. Связь между радиусом, высотой и образующей конуса: \( l^2 = R^2 + H^2 \).
5. У нас есть два неизвестных \( R \) и \( l \) и два уравнения:
   1) \( R l = 60 \) \( \Rightarrow \) \( R = \frac{60}{l} \)
   2) \( l^2 = R^2 + H^2 \)
6. Подставим \( R \) из первого уравнения во второе:
   \( l^2 = (\frac{60}{l})^2 + (4.8)^2 \)
   \( l^2 = \frac{3600}{l^2} + 23.04 \)
7. Умножим все на \( l^2 \):
   \( l^4 = 3600 + 23.04 l^2 \)
   \( l^4 - 23.04 l^2 - 3600 = 0 \)
8. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену \( t = l^2 \):
   \( t^2 - 23.04 t - 3600 = 0 \)
9. Найдем дискриминант:
   \( D = (-23.04)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3600) = 530.8416 + 14400 = 14930.8416 \)
10. \( \sqrt{D} = \sqrt{14930.8416} = 122.1918 \)
11. Найдем \( t \):
    \( t_1 = \frac{23.04 + 122.1918}{2} = \frac{145.2318}{2} = 72.6159 \)
    \( t_2 = \frac{23.04 - 122.1918}{2} < 0 \) (не подходит, так как \( l^2 \) не может быть отрицательным).
12. Значит, \( l^2 = 72.6159 \). Найдем \( l \): \( l = \sqrt{72.6159} \approx 8.52 \) см.
13. Найдем радиус \( R \):
    \( R = \frac{60}{l} = \frac{60}{8.52} \approx 7.04 \) см.
14. Проверим соотношение \( R^2 + H^2 = l^2 \):
    \( (7.04)^2 + (4.8)^2 \approx 49.56 + 23.04 = 72.6 \) , что близко к \( l^2 \).
15. Формула объема конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \)
16. Подставим найденные значения:
    \( V = \frac{1}{3} \pi (7.04)^2 (4.8) \)
    \( V \approx \frac{1}{3} \pi (49.56) (4.8) \)
    \( V \approx \frac{1}{3} \pi (237.888) \)
    \( V \approx 79.296 \pi \) см³

Ответ: Объем конуса приблизительно равен 79.3π см³.