7. Выясните, имеет ли система уравнений решения и сколько: a) { 2y-6x=5, -y+3x=8; б) { 5x-y=8, -x+y=1. Выразим у из 24 подставим в 1. y= Ответ: а)

Задание 7. Системы уравнений

Привет! Давай разберёмся с этими системами уравнений. Нам нужно выяснить, сколько у них решений.

Система а)

У нас есть система:

\[ \begin{cases} 2y - 6x = 5 \\ -y + 3x = 8 \end{cases} \]

Чтобы узнать, сколько решений у системы, давай попробуем привести её к более простому виду. Умножим второе уравнение на 2:

\[ 2 \cdot (-y + 3x) = 2 \cdot 8 \]

\[ -2y + 6x = 16 \]

Теперь посмотрим на нашу исходную систему:

\[ \begin{cases} 2y - 6x = 5 \\ -2y + 6x = 16 \end{cases} \]

Обрати внимание, что выражения перед y и x в обоих уравнениях одинаковые, но с разными знаками. Если мы сложим эти два уравнения, то получим:

\[ (2y - 6x) + (-2y + 6x) = 5 + 16 \]

\[ 0 = 21 \]

Это явно неверное равенство. Значит, система уравнений не имеет решений.

Система б)

Теперь рассмотрим вторую систему:

\[ \begin{cases} 5x - y = 8 \\ -x + y = 1 \end{cases} \]

Здесь всё гораздо проще! Из второго уравнения выразим y:

\[ y = 1 + x \]

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:

\[ 5x - (1 + x) = 8 \]

\[ 5x - 1 - x = 8 \]

\[ 4x - 1 = 8 \]

Прибавим 1 к обеим частям:

\[ 4x = 9 \]

Разделим на 4:

\[ x = \frac{9}{4} \]

Теперь найдём y, подставив значение x во второе уравнение:

\[ y = 1 + \frac{9}{4} = \frac{4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{13}{4} \]

Мы нашли и x, и y. Значит, эта система имеет ровно одно решение.

Ответ: а) решений нет; б) одно решение.