№ 7. Вычислите производную функции:у = e^x cos x

Решение:

Для вычисления производной функции \( y = e^x \cos x \) используем правило производной произведения двух функций: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = e^x \) и \( v = \cos x \).

Найдем производные функций \( u \) и \( v \):

\[ u' = (e^x)' = e^x \]\[ v' = (\cos x)' = -\sin x \]

Теперь подставим найденные значения в формулу производной произведения:

\[ y' = (e^x)' \cos x + e^x (\cos x)' \]\[ y' = e^x \cos x + e^x (-\sin x) \]\[ y' = e^x \cos x - e^x \sin x \]

Вынесем общий множитель \( e^x \) за скобки:

\[ y' = e^x (\cos x - \sin x) \]

Ответ: \( y' = e^x (\cos x - \sin x) \).