7. В треугольнике АВС АС = ВС, AB = 8, sin BAC = 0,5. Найдите высоту АН.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) дано, что \( AC = BC \), значит, треугольник равнобедренный. Также известно, что \( AB = 8 \) и \( \sin BAC = 0,5 \). Необходимо найти высоту \( AH \).

1. Так как \( \sin BAC = 0,5 \), то угол \( BAC \) равен \( 30^{\circ} \).
2. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с \( AC = BC \), высота \( AH \) является и биссектрисой, и медианой, если \( C \) — вершина при основании \( AB \). Однако, в условии сказано, что \( AH \) — высота, проведённая из вершины \( A \). Это означает, что \( AH \) перпендикулярна \( BC \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \). В нём \( AB = 8 \) и \( \angle BAH \) нам неизвестен, но \( \angle ABH \) равен \( \angle ABC \).
4. В равнобедренном треугольнике \( AC = BC \), поэтому углы при основании \( AB \) равны: \( \angle BAC = \angle ABC \).
5. Из условия \( \sin BAC = 0,5 \) следует, что \( \angle BAC = 30^{\circ} \). Следовательно, \( \angle ABC = 30^{\circ} \).
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \). В нём \( \angle AHB = 90^{\circ} \), \( AB = 8 \) и \( \angle ABH = 30^{\circ} \).
7. Высота \( AH \) является катетом, противолежащим углу \( 30^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы.
8. Таким образом, \( AH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \).

Ответ: 4