7. В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку T. В треугольнике ABT провели биссектрису TK. В треугольнике BCT построили высоту TN. Угол KTN равен 90°. TC = 8. Найдите BT.

Так как точки A, T, C лежат на одной прямой, лучи TA и TC — противоположные.

Условие \(\angle KTN=90^\circ\) означает, что биссектриса TK перпендикулярна высоте TN. Поскольку \(TN\perp BC\), получаем \(TK\parallel BC\).

Следовательно, угол между TK и TA равен углу между BC и CA:

\(\angle ATK=\angle BCT\).

Поскольку TK — биссектриса угла ATB, \(\angle ATK=\angle KTB\). А так как TA и TC — противоположные лучи, углы \(ATK\) и \(KTB\) дополняют друг друга до \(180^\circ\), поэтому каждый из них равен \(90^\circ\).

Значит, \(\angle BCT=90^\circ\), то есть \(BC\perp AC\). Следовательно, треугольник BCT прямоугольный при C.

Из условия построения и полученной параллельности следует, что треугольник BCT является равнобедренным прямоугольным, поэтому его гипотенуза:

\(BT=TC\sqrt{2}=8\sqrt{2}\) см.

Ответ: \(8\sqrt{2}\) см.