7. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 18, tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}. Найдите длину стороны AC.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник: Так как AC = BC, треугольник ABC — равнобедренный.
2. Выразим сторону BC: В равнобедренном треугольнике ABC, проведем высоту CD к основанию AB. Высота CD будет также медианой и биссектрисой. Значит, AD = DB = AB/2 = 18/2 = 9.
3. Найдем tg A: В прямоугольном треугольнике ADC, tg A = CD/AD.
4. Вычислим CD: Нам дано, что tg A = \(\frac{\sqrt{7}}{3}\). Значит, \(\frac{CD}{9} = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Отсюда CD = \(\frac{9 \times \sqrt{7}}{3} = 3\sqrt{7}\).
5. Найдем AC: В прямоугольном треугольнике ADC, по теореме Пифагора: AC² = AD² + CD² = 9² + (3\sqrt{7})² = 81 + 9 imes 7 = 81 + 63 = 144.
6. Вычислим AC: AC = \(\sqrt{144}\) = 12.

Ответ: 12