7. В треугольнике ABC: AC = BC = 20, AB = 24. Найдите sin A.

Решение:

Треугольник ABC является равнобедренным, так как AC = BC. Основание треугольника — AB.

Чтобы найти \( \sin A \), проведем высоту CD из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Значит, D — середина AB, и \( AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем:

• Катет AD = 12.
• Гипотенуза AC = 20.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\( \sin A = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} = \frac{CD}{AC} \).

Нам нужно найти длину высоты CD. Используем теорему Пифагора для треугольника ADC:

\( AC^2 = AD^2 + CD^2 \)

\( 20^2 = 12^2 + CD^2 \)

\( 400 = 144 + CD^2 \)

\( CD^2 = 400 - 144 \)

\( CD^2 = 256 \)

\( CD = \sqrt{256} = 16 \).

Теперь мы можем найти \( \sin A \):

\( \sin A = \frac{CD}{AC} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0,8 \).

Ответ: 0,8.