7. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 51, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — высота.

Дано: \( a = 3 \), \( b = 51 \), угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

1. Найдём высоту трапеции. Проведём высоту из вершины верхнего основания к нижнему основанию. В равнобедренной трапеции эта высота отсекает прямоугольный треугольник, у которого один угол равен \( 45^{\circ} \), а другой — \( 90^{\circ} \). Следовательно, третий угол также равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).
2. Таким образом, треугольник является равнобедренным прямоугольным, и высота \( h \) равна отрезку, который отсекает высота от нижнего основания.
3. Длина этого отрезка равна полуразности оснований: \( x = \frac{b - a}{2} = \frac{51 - 3}{2} = \frac{48}{2} = 24 \).
4. Значит, высота трапеции \( h = 24 \).
5. Теперь найдём площадь трапеции: \( S = \frac{3 + 51}{2} \cdot 24 = \frac{54}{2} \cdot 24 = 27 \cdot 24 \).
6. \( S = 648 \).

Ответ: 648