7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены медианы АЕ и СД. Докажите, что \( \triangle ADC = \triangle CEA \)

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \). \( AE \) и \( CD \) — медианы.

Доказать: \( \triangle ADC = \triangle CEA \)

Доказательство:

1. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).
2. \( AE \) и \( CD \) — медианы, значит, \( E \) — середина \( BC \), а \( D \) — середина \( AB \). Следовательно, \( CE = \frac{1}{2} BC \) и \( AD = \frac{1}{2} AB \).
3. Поскольку \( AB = BC \), то \( \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC \), откуда следует, что \( AD = CE \).
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle ADC \) и \( \triangle CEA \).
• У них сторона \( AC \) — общая.
• \( AD = CE \) (из пункта 3).
• \( \angle DAC = \angle ECA \) (так как \( \angle BAC = \angle BCA \)).
5. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ADC = \triangle CEA \).

Что и требовалось доказать.