7. Укажите, какие из следующих утверждений верны. 1) Если в равнобедренном треугольнике есть угол, равный 98°, то это угол при вершине, противолежащей основанию. 2) Основание равнобедренного треугольника может быть в 3 раза больше боковой стороны.

Задание 7. Равнобедренный треугольник

1) Утверждение: Если в равнобедренном треугольнике есть угол, равный 98°, то это угол при вершине, противолежащей основанию.

Анализ:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Если угол при вершине равен 98°, то сумма углов при основании будет \( 180^{\circ} - 98^{\circ} = 82^{\circ} \).
• Тогда каждый угол при основании будет \( 82^{\circ} / 2 = 41^{\circ} \). Все углы меньше 180°, такой треугольник существует.
• Если один из углов при основании равен 98°, то второй угол при основании также равен 98°. Тогда сумма углов при основании будет \( 98^{\circ} + 98^{\circ} = 196^{\circ} \), что больше 180°. Это невозможно.
• Следовательно, угол в 98° может быть только углом при вершине.

Вывод: Утверждение верно.

2) Утверждение: Основание равнобедренного треугольника может быть в 3 раза больше боковой стороны.

Анализ:

• Пусть основание равнобедренного треугольника равно \( a \), а боковая сторона равна \( b \).
• Условие: \( a = 3b \).
• По теореме о неравенстве треугольника, сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.
• Рассмотрим случаи:
• а) \( b + b > a \) (сумма боковых сторон больше основания).
• Подставим \( a = 3b \): \( 2b > 3b \). Это неравенство не выполняется, так как \( b \) — длина стороны, она положительна.
• б) \( b + a > b \) (сумма боковой стороны и основания больше другой боковой стороны).
• Подставим \( a = 3b \): \( b + 3b > b \) -> \( 4b > b \). Это неравенство выполняется.
• Так как условие \( b + b > a \) не выполняется, такой треугольник не может существовать.

Вывод: Утверждение неверно.

Ответ: Верно только утверждение 1.