7. Углы В и С и треугольника АВС равны соответственно 71° и 79°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника, равен 8.

Решение:

В треугольнике ABC известны два угла: \( \angle B = 71^{\circ} \) и \( \angle C = 79^{\circ} \).

Найдем третий угол \( \angle A \) по теореме о сумме углов треугольника:

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)

\( \angle A + 71^{\circ} + 79^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle A + 150^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle A = 180^{\circ} - 150^{\circ} \)

\( \angle A = 30^{\circ} \)

Радиус окружности, описанной около треугольника, \( R = 8 \).

По теореме синусов, для любой стороны треугольника верно соотношение:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)

Где \( a \) — сторона, противолежащая углу \( A \) (т.е. \( BC \)), \( b \) — сторона, противолежащая углу \( B \) (т.е. \( AC \)), \( c \) — сторона, противолежащая углу \( C \) (т.е. \( AB \)).

Нам нужно найти сторону \( BC \) (обозначим её \( a \)). Используем формулу:

\( \frac{BC}{\sin A} = 2R \)

\( \frac{BC}{\sin 30^{\circ}} = 2 × 8 \)

\( \frac{BC}{0.5} = 16 \)

\( BC = 16 × 0.5 \)

\( BC = 8 \)

Ответ: 8.