7. У Вани есть 234 монеты и доска 7 х 7. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых четырёх клетках, образующих прямоугольник 1 х 4 или 4 х 1, суммарно оказалось ровно 19 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Сколько всего монет может находиться в четвёртом столбце? Укажите все возможные варианты.

Question

Вопрос:

7. У Вани есть 234 монеты и доска 7 х 7. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых четырёх клетках, образующих прямоугольник 1 х 4 или 4 х 1, суммарно оказалось ровно 19 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Сколько всего монет может находиться в четвёртом столбце? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Обозначим количество монет в клетке $ (i, j) $ как $ c_{i,j} $, где $ i $ — номер строки (от 1 до 7), а $ j $ — номер столбца (от 1 до 7). Всего монет 234.

Условие задачи гласит, что сумма монет в любом прямоугольнике 1x4 или 4x1 равна 19. Рассмотрим прямоугольник 1x4 в i-й строке:

$ c_{i,j} + c_{i,j+1} + c_{i,j+2} + c_{i,j+3} = 19 $

Теперь рассмотрим прямоугольник 1x4, сдвинутый на одну клетку в той же строке:

$ c_{i,j+1} + c_{i,j+2} + c_{i,j+3} + c_{i,j+4} = 19 $

Вычитая первое уравнение из второго, получаем:

$ (c_{i,j+1} + c_{i,j+2} + c_{i,j+3} + c_{i,j+4}) - (c_{i,j} + c_{i,j+1} + c_{i,j+2} + c_{i,j+3}) = 19 - 19 $

$ c_{i,j+4} - c_{i,j} = 0 $, следовательно $ c_{i,j+4} = c_{i,j} $. Это означает, что количество монет в клетках повторяется с шагом 4 по строке.

Аналогично, рассматривая прямоугольники 4x1, мы получим $ c_{i+4,j} = c_{i,j} $, то есть количество монет в клетках повторяется с шагом 4 по столбцу.

Теперь рассмотрим прямоугольник 4x1:

$ c_{i,j} + c_{i+1,j} + c_{i+2,j} + c_{i+3,j} = 19 $

Сумма всех монет на доске — 234.

Нас интересует количество монет в четвертом столбце. Обозначим сумму монет в четвертом столбце как $ S_4 $.

$ S_4 = c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} + c_{5,4} + c_{6,4} + c_{7,4} $

Из условия $ c_{i,j+4} = c_{i,j} $ следует:

$ c_{1,4} = c_{1,1} $

$ c_{2,4} = c_{2,1} $

$ c_{3,4} = c_{3,1} $

$ c_{4,4} = c_{4,1} $

$ c_{5,4} = c_{5,1} $

$ c_{6,4} = c_{6,1} $

$ c_{7,4} = c_{7,1} $

То есть, сумма монет в четвертом столбце равна сумме монет в первом столбце: $ S_4 = S_1 $.

Из условия $ c_{i+4,j} = c_{i,j} $ следует:

$ c_{5,4} = c_{1,4} $

$ c_{6,4} = c_{2,4} $

$ c_{7,4} = c_{3,4} $

Тогда сумма в четвертом столбце может быть выражена как:

$ S_4 = c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} + c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} $

$ S_4 = 2(c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4}) + c_{4,4} $

Также, $ c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} = 19 $ (прямоугольник 4x1 в 4-м столбце).

Если мы суммируем все столбцы, используя свойство $ c_{i,j+4} = c_{i,j} $, мы можем сгруппировать столбцы.

Например, для строк: $ c_{i,1}+c_{i,2}+c_{i,3}+c_{i,4} = 19 $, $ c_{i,2}+c_{i,3}+c_{i,4}+c_{i,5} = 19 $, $ c_{i,3}+c_{i,4}+c_{i,5}+c_{i,6} = 19 $, $ c_{i,4}+c_{i,5}+c_{i,6}+c_{i,7} = 19 $.

Это приводит к $ c_{i,j+4} = c_{i,j} $.

Для столбцов: $ c_{1,j}+c_{2,j}+c_{3,j}+c_{4,j} = 19 $, $ c_{2,j}+c_{3,j}+c_{4,j}+c_{5,j} = 19 $, $ c_{3,j}+c_{4,j}+c_{5,j}+c_{6,j} = 19 $, $ c_{4,j}+c_{5,j}+c_{6,j}+c_{7,j} = 19 $.

Это приводит к $ c_{i+4,j} = c_{i,j} $.

Рассмотрим четвёртый столбец. Так как $ c_{i+4,j} = c_{i,j} $, то $ c_{5,4} = c_{1,4} $, $ c_{6,4} = c_{2,4} $, $ c_{7,4} = c_{3,4} $.

Сумма в 4-м столбце: $ S_4 = c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} + c_{5,4} + c_{6,4} + c_{7,4} = c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} + c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} = 2(c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4}) + c_{4,4} $.

Мы знаем, что сумма монет в любом прямоугольнике 4x1 равна 19. В частности, для 4-го столбца:

$ c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} = 19 $

$ c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} + c_{5,4} = 19 $

$ c_{3,4} + c_{4,4} + c_{5,4} + c_{6,4} = 19 $

$ c_{4,4} + c_{5,4} + c_{6,4} + c_{7,4} = 19 $

Из $ c_{i+4,j} = c_{i,j} $ следует $ c_{1,4} = c_{5,4} $, $ c_{2,4} = c_{6,4} $, $ c_{3,4} = c_{7,4} $.

Подставляем в первое уравнение: $ c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} = 19 $.

Подставляем во второе: $ c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} + c_{1,4} = 19 $.

Подставляем в третье: $ c_{3,4} + c_{4,4} + c_{1,4} + c_{2,4} = 19 $.

Подставляем в четвертое: $ c_{4,4} + c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} = 19 $.

Все эти уравнения эквивалентны $ c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} = 19 $.

Рассмотрим сумму всех монет на доске: $ \text{Total} = 234 $.

Мы можем разбить все монеты на группы по 4 строки и 4 столбца. Доска 7x7.

Можно заметить, что сумма монет в любом столбце $ j $ плюс сумма монет в столбце $ j+4 $ (если он существует) равна удвоенной сумме монет в столбце $ j+2 $, если $ j+4 $ существует.

Однако, более простое решение основано на свойстве периодичности. Сумма монет в любом столбце $ j $ и $ j+4 $ одинакова. То есть, сумма монет в 1-м столбце равна сумме в 5-м, во 2-м равна 6-му, в 3-м равна 7-му. Сумма в 4-м столбце сама по себе.

Пусть $ S_j $ — сумма монет в $ j \text{-м} $ столбце. Тогда $ S_1 = S_5 $, $ S_2 = S_6 $, $ S_3 = S_7 $.

Общая сумма монет $ 234 $ равна $ S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 + S_7 $ = $ 2S_1 + 2S_2 + 2S_3 + S_4 $.

Из условия, что сумма в любом прямоугольнике 4x1 равна 19, мы имеем:

$ S_1 = c_{1,1} + c_{2,1} + c_{3,1} + c_{4,1} + c_{5,1} + c_{6,1} + c_{7,1} $

$ c_{1,1} + c_{2,1} + c_{3,1} + c_{4,1} = 19 $

$ c_{2,1} + c_{3,1} + c_{4,1} + c_{5,1} = 19 $

$ c_{3,1} + c_{4,1} + c_{5,1} + c_{6,1} = 19 $

$ c_{4,1} + c_{5,1} + c_{6,1} + c_{7,1} = 19 $

Из этих уравнений следует, что $ c_{1,1} = c_{5,1} $, $ c_{2,1} = c_{6,1} $, $ c_{3,1} = c_{7,1} $.

Тогда $ S_1 = (c_{1,1} + c_{2,1} + c_{3,1} + c_{4,1}) + (c_{5,1} + c_{6,1} + c_{7,1}) = 19 + (c_{1,1} + c_{2,1} + c_{3,1}) $.

И $ S_1 = (c_{1,1} + c_{2,1} + c_{3,1}) + c_{4,1} + (c_{1,1} + c_{2,1} + c_{3,1}) = 2(c_{1,1} + c_{2,1} + c_{3,1}) + c_{4,1} $.

Аналогично для 4-го столбца:

$ S_4 = 2(c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4}) + c_{4,4} $, где $ c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} = 19 $.

Рассмотрим сумму всех монет, используя свойство $ c_{i,j+4} = c_{i,j} $ и $ c_{i+4,j} = c_{i,j} $.

Любую клетку $ (i,j) $ можно привести к виду $ (i',j') $ где $ 1 \not\neq i',j' \not\neq 4 $ или $ i'=4 $ или $ j'=4 $.

Разобьём доску на 4 части по 4 строки и 4 столбца, и оставшиеся строки/столбцы.

Если сложить все суммы прямоугольников 1x4 по всем строкам, то каждая клетка будет учтена 4 раза. Общая сумма будет $ 7 \times \text{sum of 4x1 rectangles} = 7 \times 19 = 133 $ (это не верно).

Проанализируем условие: сумма в любом прямоугольнике 1x4 или 4x1 равна 19.

Обозначим сумму монет в столбце $ j $ как $ C_j = \text{sum}_{i=1}^7 c_{i,j} $.

Из $ c_{i,j+4} = c_{i,j} $, имеем $ C_j = C_{j+4} $.

$ C_1 = C_5 $, $ C_2 = C_6 $, $ C_3 = C_7 $.

Сумма всех монет $ 234 = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 + C_5 + C_6 + C_7 = 2C_1 + 2C_2 + 2C_3 + C_4 $.

Теперь рассмотрим прямоугольники 4x1. Сумма монет в любом столбце $ j $ по 4 строкам равна 19.

$ c_{i,j} + c_{i+1,j} + c_{i+2,j} + c_{i+3,j} = 19 $ для $ i=1,2,3,4 $.

Это означает, что $ c_{1,j} = c_{5,j} $, $ c_{2,j} = c_{6,j} $, $ c_{3,j} = c_{7,j} $.

Тогда $ C_j = c_{1,j} + c_{2,j} + c_{3,j} + c_{4,j} + c_{5,j} + c_{6,j} + c_{7,j} = 2(c_{1,j} + c_{2,j} + c_{3,j}) + c_{4,j} $.

Мы знаем, что $ c_{1,j} + c_{2,j} + c_{3,j} + c_{4,j} = 19 $.

И $ c_{2,j} + c_{3,j} + c_{4,j} + c_{5,j} = 19 $ => $ c_{1,j} = c_{5,j} $.

$ c_{3,j} + c_{4,j} + c_{5,j} + c_{6,j} = 19 $$$

$ c_{4,j} + c_{5,j} + c_{6,j} + c_{7,j} = 19 $$$

Рассмотрим $ C_4 $. $ C_4 = 2(c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4}) + c_{4,4} $.

У нас есть $ c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} = 19 $.

Следовательно, $ c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} = 19 - c_{4,4} $.

Подставляем в выражение для $ C_4 $: $ C_4 = 2(19 - c_{4,4}) + c_{4,4} = 38 - 2c_{4,4} + c_{4,4} = 38 - c_{4,4} $.

Так как $ c_{4,4} $ — количество монет, оно должно быть неотрицательным целым числом. Также, $ c_{4,4} \not\neq 19 $ (иначе весь столбец будет 19, но есть другие строки).

Рассмотрим все возможные значения $ c_{4,4} $.

Из $ c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} = 19 - c_{4,4} $ и $ c_{1,4}, c_{2,4}, c_{3,4} \text{ >= 0} $, то $ 19 - c_{4,4} \text{ >= 0} $, то есть $ c_{4,4} \text{ <= 19} $.

Сумма всех монет: $ 234 = 2C_1 + 2C_2 + 2C_3 + C_4 $.

$ C_4 = 38 - c_{4,4} $.

$ 234 = 2C_1 + 2C_2 + 2C_3 + 38 - c_{4,4} $

$ 196 = 2C_1 + 2C_2 + 2C_3 - c_{4,4} $

$ 196 = 2(C_1 + C_2 + C_3) - c_{4,4} $.

Вспомним, что $ C_j = 2(c_{1,j} + c_{2,j} + c_{3,j}) + c_{4,j} $.

$ C_1 = 2(c_{1,1} + c_{2,1} + c_{3,1}) + c_{4,1} $

$ C_2 = 2(c_{1,2} + c_{2,2} + c_{3,2}) + c_{4,2} $

$ C_3 = 2(c_{1,3} + c_{2,3} + c_{3,3}) + c_{4,3} $

$ C_4 = 2(c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4}) + c_{4,4} = 38 - c_{4,4} $.

Из $ c_{1,4} + c_{2,4} + c_{3,4} + c_{4,4} = 19 $, мы знаем, что $ c_{1,4}, c_{2,4}, c_{3,4}, c_{4,4} $ — неотрицательные целые числа.

Сумма в 4-м столбце $ C_4 $ может принимать значения от $ 38 - 19 = 19 $ (когда $ c_{4,4}=19 $, а $ c_{1,4}=c_{2,4}=c_{3,4}=0 $) до $ 38 - 0 = 38 $ (когда $ c_{4,4}=0 $, а $ c_{1,4}+c_{2,4}+c_{3,4}=19 $).

Рассмотрим случаи:

1. Если $ c_{4,4} = 19 $, то $ C_4 = 19 $. Это возможно, если $ c_{1,4}=c_{2,4}=c_{3,4}=0 $.

2. Если $ c_{4,4} = 0 $, то $ C_4 = 38 $. Это возможно, если $ c_{1,4}+c_{2,4}+c_{3,4}=19 $.

3. Если $ c_{4,4} = x $, то $ C_4 = 38 - x $, где $ 0 \text{ <= } x \text{ <= } 19 $.

Теперь воспользуемся общим количеством монет $ 234 $.

$ 234 = 2C_1 + 2C_2 + 2C_3 + C_4 $.

$ 234 = 2(C_1+C_2+C_3) + 38 - c_{4,4} $

$ 196 = 2(C_1+C_2+C_3) - c_{4,4} $.

$ 196 + c_{4,4} = 2(C_1+C_2+C_3) $.

Левая часть $ 196 + c_{4,4} $ должна быть чётной. Так как 196 — чётное число, $ c_{4,4} $ также должно быть чётным.

Таким образом, $ c_{4,4} $ может принимать чётные значения от 0 до 18.

$ c_{4,4} \text{ \text{ in } } [0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18] $.

Для каждого такого $ c_{4,4} $, $ C_4 = 38 - c_{4,4} $ будет возможным значением суммы в 4-м столбце.

Возможные значения $ C_4 $:

Если $ c_{4,4} = 0 $, $ C_4 = 38 $

Если $ c_{4,4} = 2 $, $ C_4 = 36 $

Если $ c_{4,4} = 4 $, $ C_4 = 34 $

Если $ c_{4,4} = 6 $, $ C_4 = 32 $

Если $ c_{4,4} = 8 $, $ C_4 = 30 $

Если $ c_{4,4} = 10 $, $ C_4 = 28 $

Если $ c_{4,4} = 12 $, $ C_4 = 26 $

Если $ c_{4,4} = 14 $, $ C_4 = 24 $

Если $ c_{4,4} = 16 $, $ C_4 = 22 $

Если $ c_{4,4} = 18 $, $ C_4 = 20 $

Все эти значения — возможные суммы монет в четвёртом столбце.

Возможные варианты сумм монет в четвёртом столбце: 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38.