7. Точка О — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон АС и ВС треугольника АВС — принадлежит его стороне АВ. Докажите, что: 1) точка О — середина отрезка АВ; 2) ∠ACB = ∠A + ∠B.

Решение:

1. Доказательство того, что точка О — середина отрезка АВ:

• Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности.
• Если точка О лежит на стороне АВ, то АВ является диаметром описанной окружности.
• Поскольку О — центр описанной окружности, а АВ — её диаметр, то О является серединой АВ.

2. Доказательство того, что ∠ACB = ∠A + ∠B:

• Так как О — центр описанной окружности, то \( OA = OB = OC \) (радиусы описанной окружности).
• Из \( OA = OC \) следует, что \( \triangle AOC \) — равнобедренный. Тогда \( \angle OAC = \angle OCA \).
• Из \( OB = OC \) следует, что \( \triangle BOC \) — равнобедренный. Тогда \( \angle OBC = \angle OCB \).
• Угол \( \angle ACB = \angle OCA + \angle OCB \).
• Угол \( \angle A = \angle OAC \) (так как О лежит на АВ).
• Угол \( \angle B = \angle OBC \) (так как О лежит на АВ).
• Подставим в выражение для \( \angle ACB \): \( \angle ACB = \angle OAC + \angle OBC \).
• Заменяем \( \angle OAC \) на \( \angle A \) и \( \angle OBC \) на \( \angle B \).
• Получаем \( \angle ACB = \angle A + \angle B \).

Ответ: Доказано.