7. Тип 4 № 59735 По каналу связи передаются сообщения, содержащие только восемь букв: А, Б, В, Г, Д, Е, Ё и 3. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: А – 011, Б – 10, В – 110, Г – 111. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования оставшихся букв? Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.

Решение

Задача состоит в том, чтобы найти минимальное количество двоичных знаков для кодирования оставшихся букв, учитывая условие Фано. Условие Фано гарантирует, что код является префиксным, то есть ни одно кодовое слово не является началом другого. Это позволяет однозначно декодировать сообщение.

• Известные кодовые слова:
  • А: 011 (3 бита)
  • Б: 10 (2 бита)
  • В: 110 (3 бита)
  • Г: 111 (3 бита)
• Всего букв: 8 (А, Б, В, Г, Д, Е, Ё, 3).
• Использованные кодовые слова: 4 буквы закодированы.
• Оставшиеся буквы: 4 буквы (Д, Е, Ё, 3).

Для того чтобы минимизировать количество двоичных знаков, мы должны присвоить наиболее короткие возможные кодовые слова оставшимся буквам, не нарушая условие Фано.

Рассмотрим возможные префиксы и их длины:

• Длина 1: 0, 1.
• Длина 2: 00, 01, 10, 11.
• Длина 3: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

У нас уже есть кодовые слова:

• 10 (для Б)
• 011 (для А)
• 110 (для В)
• 111 (для Г)

Известные кодовые слова уже занимают некоторые комбинации:

• Начинающиеся с '10': нет других слов, начинающихся с '10'.
• Начинающиеся с '011': не могут быть префиксами других слов.
• Начинающиеся с '110': не могут быть префиксами других слов.
• Начинающиеся с '111': не могут быть префиксами других слов.

Попробуем присвоить оставшимся 4 буквам (Д, Е, Ё, 3) кратчайшие свободные кодовые слова, удовлетворяющие условию Фано.

Наиболее короткие свободные префиксы:

• '00' (длина 2)
• '010' (длина 3) - так как '011' занято.
• '100' (длина 3) - так как '10' занято.
• '101' (длина 3) - так как '10' занято.

Если мы присвоим эти слова, то:

• Д: 00 (2 бита)
• Е: 010 (3 бита)
• Ё: 100 (3 бита)
• 3: 101 (3 бита)

Проверим условие Фано:

• 011 (А)
• 10 (Б)
• 110 (В)
• 111 (Г)
• 00 (Д)
• 010 (Е)
• 100 (Ё)
• 101 (3)

Ни одно слово не является префиксом другого. Это оптимальное распределение, так как мы использовали самые короткие возможные доступные префиксы.

Суммарное количество бит для оставшихся букв:

• 2 бита (для Д) + 3 бита (для Е) + 3 бита (для Ё) + 3 бита (для 3) = 11 бит.

Наименьшее количество двоичных знаков для кодирования оставшихся букв составляет 11.