7. Сократите дробь: а) \(\frac{9x^2 - 1}{x^2 - 9}\) ; б) \(\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 8x + 16}\) 8. Упростите выражение: а) \(\frac{25b^2 - 120ab + 144a^2}{144a^2 - 25b^2}\) : \(\frac{9x^2 - 9x}{x^2+9x+6x}\) ; б) \(\frac{2ab - 3b - 10a + 15}{2ab - 8b}\) = \(\frac{a^2 - 16}{b^2 - 25}\)

Решение задачи 7:

1. а) Сокращение дроби \(\frac{9x^2 - 1}{x^2 - 9}\)

   Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения:

   • Числитель: 9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x - 1)(3x + 1)
   • Знаменатель: x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)

   Таким образом, дробь принимает вид: \(\frac{(3x - 1)(3x + 1)}{(x - 3)(x + 3)}\). Эта дробь не сокращается.

2. б) Сокращение дроби \(\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 8x + 16}\)

   Разложим числитель и знаменатель на множители:

   • Числитель: x^2 - 7x + 12. Найдем корни уравнения x^2 - 7x + 12 = 0. По теореме Виета, x1 + x2 = 7, x1 * x2 = 12. Корни: x1 = 3, x2 = 4. Значит, x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4).
   • Знаменатель: x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 = (x - 4)(x - 4). Это формула квадрата разности.

   Теперь подставим разложенные множители в дробь:

   \(\frac{(x - 3)(x - 4)}{(x - 4)(x - 4)}\)

   Сокращаем общий множитель (x - 4):

   \(\frac{x - 3}{x - 4}\)

Решение задачи 8:

1. а) Упрощение выражения \(\frac{25b^2 - 120ab + 144a^2}{144a^2 - 25b^2}\) : \(\frac{9x^2 - 9x}{x^2+9x+6x}\)

   Сначала упростим числитель и знаменатель первой дроби, а также вторую дробь отдельно.

   Первая дробь: \(\frac{25b^2 - 120ab + 144a^2}{144a^2 - 25b^2}\)

   • Числитель: 25b^2 - 120ab + 144a^2. Это квадрат разности: 3(5b)^2 - 2 4 5b 4 12a + (12a)^2 = (5b - 12a)^2 = (5b - 12a)(5b - 12a)1.
   • Знаменатель: 144a^2 - 25b^2. Это разность квадратов: (12a)^2 - (5b)^2 = (12a - 5b)(12a + 5b)1.

   Первая дробь: \(\frac{(5b - 12a)^2}{(12a - 5b)(12a + 5b)}\) = \(\frac{(-(12a - 5b))^2}{(12a - 5b)(12a + 5b)}\) = \(\frac{(12a - 5b)^2}{(12a - 5b)(12a + 5b)}\)1. Сокращаем (12a - 5b): \(\frac{12a - 5b}{12a + 5b}\)1.

   Вторая дробь: \(\frac{9x^2 - 9x}{x^2+9x+6x}\)

   • Числитель: 9x^2 - 9x = 9x(x - 1)
   • Знаменатель: x^2 + 9x + 6x = x^2 + 15x = x(x + 15)

   Вторая дробь: \(\frac{9x(x - 1)}{x(x + 15)}\)1. Сокращаем x: \(\frac{9(x - 1)}{x + 15}\)1.

   Теперь выполним деление:

   \(\frac{12a - 5b}{12a + 5b}\) : \(\frac{9(x - 1)}{x + 15}\) = \(\frac{12a - 5b}{12a + 5b}\) 4 \(\frac{x + 15}{9(x - 1)}\) = \(\frac{(12a - 5b)(x + 15)}{9(12a + 5b)(x - 1)}\)1.

2. б) Упрощение выражения \(\frac{2ab - 3b - 10a + 15}{2ab - 8b}\) = \(\frac{a^2 - 16}{b^2 - 25}\)

   Сначала упростим левую часть выражения, разложив числитель на множители методом группировки:

   Числитель: 2ab - 3b - 10a + 15 = b(2a - 3) - 5(2a - 3) = (b - 5)(2a - 3)

   Знаменатель: 2ab - 8b = 2b(a - 4)

   Левая часть: \(\frac{(b - 5)(2a - 3)}{2b(a - 4)}\)

   Теперь упростим правую часть:

   Числитель: a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)

   Знаменатель: b^2 - 25 = (b - 5)(b + 5)

   Правая часть: \(\frac{(a - 4)(a + 4)}{(b - 5)(b + 5)}\)

   Приравниваем упрощенные части:

   \(\frac{(b - 5)(2a - 3)}{2b(a - 4)}\) = \(\frac{(a - 4)(a + 4)}{(b - 5)(b + 5)}\)

   Для дальнейшего упрощения и проверки равенства, нужно раскрыть скобки и привести к общему знаменателю, либо проверить равенство при подстановке конкретных значений, если задача подразумевает проверку тождества.

   Если предположить, что это равенство должно выполняться, то дальнейшее алгебраическое преобразование приведет к:

   \(\frac{(b - 5)(2a - 3)}{2b(a - 4)}\) 4 \(\frac{(b - 5)(b + 5)}{(a - 4)(a + 4)}\) = 1

   \(\frac{(b - 5)^2 (2a - 3)(b + 5)}{2b(a - 4)^2 (a + 4)}\) = 1

   Это сложное выражение, которое не упрощается до очевидного тождества без дополнительных условий.

   Возможная интерпретация: если задача заключалась в приведении к общему виду или упрощении, то мы провели разложение на множители. Если же требовалось доказать равенство, то оно не является тождеством для всех a и b.

Ответ:

• 7. а) \(\frac{(3x - 1)(3x + 1)}{(x - 3)(x + 3)}\)
• 7. б) \(\frac{x - 3}{x - 4}\)
• 8. а) \(\frac{(12a - 5b)(x + 15)}{9(12a + 5b)(x - 1)}\)
• 8. б) Равенство не является тождеством без дополнительных условий. Упрощенные выражения: \(\frac{(b - 5)(2a - 3)}{2b(a - 4)}\) и \(\frac{(a - 4)(a + 4)}{(b - 5)(b + 5)}\)