7. Сколькими разными способами могут распределиться призовые места (первое, второе и третье) между пятью велогонщиками?

Решение:

Это задача на размещение, так как порядок мест важен (первое, второе и третье места — это разные результаты). Нам нужно найти количество размещений из 5 элементов по 3.

Формула для числа размещений:

\[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Где \( n \) — общее количество элементов (велогонщиков), \( k \) — количество выбираемых мест (призовых мест).

1. В нашем случае \( n = 5 \) (велогонщиков) и \( k = 3 \) (призовых места).
2. Подставим значения в формулу:
3. \[ A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \]
4. Рассчитаем факториалы:
5. \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
6. \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \]
7. Найдем результат:
8. \[ A_5^3 = \frac{120}{2} = 60 \]

Ответ: 60 способами.