7. Решите уравнение 8sin² x + 6sin(π/2 + x) = 9.

Решение:

Начнём с упрощения выражения \( \sin(\frac{\pi}{2} + x) \). Используя формулу приведения, получаем: \( \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) \).

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\[ 8\sin^2 x + 6\cos x = 9 \]

Вспомним основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Подставим это в уравнение:

\[ 8(1 - \cos^2 x) + 6\cos x = 9 \]\[ 8 - 8\cos^2 x + 6\cos x = 9 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно \( \cos x \):

\[ -8\cos^2 x + 6\cos x + 8 - 9 = 0 \]\[ -8\cos^2 x + 6\cos x - 1 = 0 \]

Умножим на -1 для удобства:

\[ 8\cos^2 x - 6\cos x + 1 = 0 \]

Пусть \( y = \cos x \). Тогда получаем квадратное уравнение:

\[ 8y^2 - 6y + 1 = 0 \]

Решим это уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \]

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 2}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 2}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]

Теперь вернёмся к \( \cos x \):

1. \( \cos x = \frac{1}{2} \)

Решения этого уравнения:

\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

1. \( \cos x = \frac{1}{4} \)

Решения этого уравнения:

\[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) и \( x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \).