7. Решите уравнение 6cos^2 x + 5cos(π/2 - x) = 7.

Решение:

Воспользуемся формулой приведения: \( \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x \).

Подставим в уравнение:

\[ 6\cos^2 x + 5\sin x = 7 \]

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

\[ 6(1 - \sin^2 x) + 5\sin x = 7 \]

\[ 6 - 6\sin^2 x + 5\sin x = 7 \]

\[ -6\sin^2 x + 5\sin x - 1 = 0 \]

\[ 6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0 \]

Введём замену: \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение:

\[ 6t^2 - 5t + 1 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \sin x \).

1. \( \sin x = \frac{1}{2} \)

Это частный случай, корни:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. \( \sin x = \frac{1}{3} \)

Корни:

\[ x = \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k, \quad x = \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k, \quad x = \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \).